Seja
a superficie cónica
com
Usando o Teorema de Gauss, calcule a integral
.
Escolha uma opção:
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Escolha uma opção:
Passo 1
Então, a gente tem uma superfície cônica dada por
que vai de
até
. A gente precisa calcular a integral de superfície
usando o Teorema de Gauss. Esse teorema transforma a integral de superfície em uma integral de volume, o que facilita bastante a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à expressão dentro da integral. Se a gente chamar
, então a integral que queremos calcular é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Com a divergência calculada, a integral de superfície pelo Teorema de Gauss vira uma integral de volume:
Aqui,
é o volume do cone definido pela superfície cônica e o limite
.
Passo 5
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que a superfície é um cone simétrico. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é
.
Passo 6
Expressando a divergência em coordenadas cilíndricas:
Agora, vamos integrar isso sobre o volume do cone. Os limites de integração são:
Passo 7
Montando a integral:
Que se expande para:
Passo 8
Vamos resolver a integral term por term:
- Termo
:
Porque
.
- Termo
:
Porque
.
- Termo
:
Simplificando:
Resposta
A integral vale
. Porém, nenhuma das opções corresponde exatamente a esse valor. Parece que houve um erro nos cálculos ou nas opções fornecidas. Verifique os dados ou os cálculos novamente.