Seja S a superficie cónica x^2+y^2=z^2 com 0 <= z <= 2 Usando o Teorema de Gauss, calcule a integral integral duplaS(x(x-y)+y(y-z)+z^2-z) d S.
Escolha uma opção:
  • 163 raiz2 pi
  • 323 raiz2 pi
  • 12 raiz2 pi
  • 6 raiz2 pi
  • 16 raiz2 pi

Passo 1

Então, a gente tem uma superfície cônica dada por x^2 + y^2 = z^2 que vai de z = 0 até z = 2 . A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS(x(x-y)+y(y-z)+z^2-z) dS usando o Teorema de Gauss. Esse teorema transforma a integral de superfície em uma integral de volume, o que facilita bastante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial associado à expressão dentro da integral. Se a gente chamar F = (x(x - y), y(y - z), z^2 - z) , então a integral que queremos calcular é integral duplaS F cdot dS .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial F . A divergência é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(x(x - y)) + partialpartial y(y(y - z)) + partialpartial z(z^2 - z)
Calculando cada termo:
partialpartial x(x(x - y)) = 2x - y
partialpartial y(y(y - z)) = 2y - z
partialpartial z(z^2 - z) = 2z - 1
Então:
nabla cdot F = (2x - y) + (2y - z) + (2z - 1) = 2x + y + z - 1

Passo 4

Com a divergência calculada, a integral de superfície pelo Teorema de Gauss vira uma integral de volume:
integral triplaV (2x + y + z - 1) , dV
Aqui, V é o volume do cone definido pela superfície cônica e o limite z = 2 .

Passo 5

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração, já que a superfície é um cone simétrico. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
E o elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz .

Passo 6

Expressando a divergência em coordenadas cilíndricas:
2x + y + z - 1 = 2rcostheta + rsintheta + z - 1
Agora, vamos integrar isso sobre o volume do cone. Os limites de integração são:
r vai de 0 até z (já que r = z no cone) éá
theta vai de 0 até 2pi é
z vai de 0 até 2 é

Passo 7

Montando a integral:
integral triplaV (2rcostheta + rsintheta + z - 1) , r , dr , dtheta , dz
Que se expande para:
integral0^2 integral0^2pi integral0^z (2rcostheta + rsintheta + z - 1) , r , dr , dtheta , dz

Passo 8

Vamos resolver a integral term por term:
  1. Termo 2rcostheta cdot r :
2 integral0^2 integral0^2pi costheta ( integral0^z r^2 , dr ) dtheta , dz = 2 integral0^2 integral0^2pi costheta ( z^33 ) dtheta , dz = 0
Porque integral0^2pi costheta , dtheta = 0 .
  1. Termo rsintheta cdot r :
integral0^2 integral0^2pi sintheta ( integral0^z r^2 , dr ) dtheta , dz = integral0^2 integral0^2pi sintheta ( z^33 ) dtheta , dz = 0
Porque integral0^2pi sintheta , dtheta = 0 .
  1. Termo (z - 1) cdot r :
integral0^2 integral0^2pi integral0^z (z - 1) r , dr , dtheta , dz = integral0^2 (z - 1) integral0^2pi dtheta integral0^z r , dr , dz = integral0^2 (z - 1) cdot 2pi cdot z^22 , dz = pi integral0^2 (z - 1) z^2 , dz
Simplificando:
pi integral0^2 (z^3 - z^2) , dz = pi [ z^44 - z^33 ]0^2 = pi ( 164 - 83 ) = pi ( 4 - 83 ) = pi ( 12 - 83 ) = pi cdot 43 = 43 pi

Resposta

A integral vale 43 pi . Porém, nenhuma das opções corresponde exatamente a esse valor. Parece que houve um erro nos cálculos ou nas opções fornecidas. Verifique os dados ou os cálculos novamente.

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