Encontre a solução particular de \ddot{y}-3 \dot{y}-4 y=-8 e^{t} \cos (2 t) pelo método dos coeficientes inderteminados.

Passo 1

O enunciado pede a solução particular de
\ddot y - 3\dot y - 4y = -8\,e^{t}\cos(2t)
pelo método dos coeficientes indeterminados, ou seja, vamos assumir uma forma para y_p compatível com o termo forçante e determinar as constantes.

Passo 2

Antes, note que a equação homogênea associada
\ddot y -3\dot y -4y=0
tem equação característica
r^2 -3r -4 = 0\;\Longrightarrow\;r=4,\,-1
e solução geral
y_c = C\,e^{4t} + D\,e^{-t}.
Como e^t\cos(2t) não aparece na homogênea, não há ressonância.

Passo 3

Proponho a forma
y_p = e^{t}\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr),
com A,B constantes a determinar.

Passo 4

Defina U(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t). Então, usando y_p=e^tU,
y_p' = e^t\bigl(U + U'\bigr),\qquad y_p'' = e^t\bigl(U + 2U' + U''\bigr).
Como
U'=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t),\quad U''=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t),
segue
y_p' = e^t\bigl((A+2B)\cos2t + (B-2A)\sin2t\bigr),
y_p'' = e^t\bigl((-3A+4B)\cos2t +(-4A-3B)\sin2t\bigr).

Passo 5

Substituindo na parte esquerda da EDO:
y_p'' -3y_p' -4y_p = e^t\Bigl[(-10A-2B)\cos2t + (2A-10B)\sin2t\Bigr].
Queremos isso igual a -8e^t\cos2t, isto é,
-10A - 2B = -8, \quad 2A -10B = 0.
Da segunda equação 2A=10B\Rightarrow A=5B. Substituindo em -10A-2B=-8
-50B -2B = -52B = -8 \;\Longrightarrow\; B = \frac{2}{13},\; A = \frac{10}{13}.

Passo 6

Portanto a solução particular é
y_p(t) = e^{t}\Bigl(\tfrac{10}{13}\cos(2t) + \tfrac{2}{13}\sin(2t)\Bigr).

Resposta

y_p(t) = e^{t}\Bigl(\frac{10}{13}\cos(2t) + \frac{2}{13}\sin(2t)\Bigr).

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