Encontre uma solução particular da edo não homogênea Y^prime prime+Y^prime-6 Y=E^T

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é não homogênea: Y'' + Y' - 6Y = e^T . Isso envolve encontrar uma solução particular para a equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções particulares, como o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução particular tem a forma de Yp = A e^T , onde A é uma constante que vamos descobrir. Essa suposição é baseada no lado direito da equação, que é e^T .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de Yp . A primeira derivada é:
Yp' = A e^T
E a segunda derivada é:
Yp'' = A e^T

Passo 4

Substituímos Yp , Yp' e Yp'' na equação original:
A e^T + A e^T - 6A e^T = e^T
Simplificando:
(A + A - 6A) e^T = e^T
(-4A) e^T = e^T

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes:
-4A = 1
Resolvendo para A :
A = -14

Resposta

A solução particular da equação diferencial é Yp = -14 e^T .

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