(8 pontos) Utilize o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral da equação
(a) Encontre a solução homogênea associada.
(b) Determine a solução particular e escreva a solução geral completa.
(b) Determine a solução particular e escreva a solução geral completa.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação diferencial
supondo
. O conteúdo é equações lineares de segunda ordem. Primeiro vamos achar a solução homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter a particular.
Passo 2
Para a homogênea associada dividimos por
e escrevemos
A equação característica é
logo as soluções fundamentais são
e
.
Portanto
e
Portanto
Passo 3
Para variação de parâmetros usamos as fórmulas
onde
e
Passo 4
Calculamos
e
:
Passo 5
Integramos para obter
(usando
)
e
e
Passo 6
A solução particular é
Somando à homogênea, a solução geral fica
Resposta
(a)
(b)