(8 pontos) Utilize o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral da equação
9 y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} \left(\frac{x}{3}\right) \quad\left(\cos \left(\frac{x}{3}\right)>0\right)
(a) Encontre a solução homogênea associada.
(b) Determine a solução particular e escreva a solução geral completa.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação de parâmetros, a equação diferencial
9\,y''+y=\operatorname{sec}\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr),
supondo \cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)>0. O conteúdo é equações lineares de segunda ordem. Primeiro vamos achar a solução homogênea e depois aplicar variação de parâmetros para obter a particular.

Passo 2

Para a homogênea associada dividimos por 9 e escrevemos
y''+\tfrac{1}{9}\,y=0.
A equação característica é
r^2+\tfrac{1}{9}=0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm \tfrac{i}{3},
logo as soluções fundamentais são
\displaystyle y_1(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)
e
\displaystyle y_2(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
Portanto
y_{h}(x)=C_{1}\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)+C_{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr).

Passo 3

Para variação de parâmetros usamos as fórmulas
u_1'=-\frac{f(x)\,y_2(x)}{W(x)}, \quad \nu_2'=\frac{f(x)\,y_1(x)}{W(x)},
onde f(x)=\tfrac{1}{9}\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) e
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[6pt] y_1'&y_2' \end{vmatrix} =\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\cdot\tfrac{1}{3}\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) -(-\tfrac{1}{3}\sin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr))\sin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) =\tfrac{1}{3}.]

Passo 4

Calculamos u_1' e u_2':
u_1'=-\frac{\tfrac{1}{9}\operatorname{sec}(\tfrac{x}{3})\;\sin(\tfrac{x}{3})}{\tfrac{1}{3}} =-\tfrac{1}{3}\tan\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr),
u_2'=\frac{\tfrac{1}{9}\operatorname{sec}(\tfrac{x}{3})\;\cos(\tfrac{x}{3})}{\tfrac{1}{3}} =\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Integramos para obter
u_1(x)=\int -\tfrac{1}{3}\tan\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)\,dx =\ln\!\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\Bigr),
(usando \cos(\tfrac{x}{3})>0)
e
u_2(x)=\int \tfrac{1}{3}\,dx =\tfrac{x}{3}.

Passo 6

A solução particular é
y_{p}(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x) =\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)\ln\!\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\Bigr) +\tfrac{x}{3}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr).
Somando à homogênea, a solução geral fica
y(x)=C_{1}\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)+C_{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr) +\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)\ln\!\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\Bigr) +\tfrac{x}{3}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr).

Resposta

(a) y_{h}(x)=C_{1}\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)+C_{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr).
(b) y(x)=C_{1}\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)+C_{2}\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr) +\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)\ln\!\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\Bigr) +\tfrac{x}{3}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr).

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