Use o Teorema de Stokes para calcular integralegral duplaS rot F cdot d S.
F(x, y, z)=e^x y i+e^x z j+x^2 z k, S é a metade do elipsoide 4 x^2+y^2+4 z^2=4 que se situa à direita do plano x z orientado na direção do eixo positivo y.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes para calcular
integral duplaSrotFcdot dS,
onde
F(x,y,z)=e^xy,i+e^xz,j+x^2z,k,
e S é a metade do elipsoide
4x^2+y^2+4z^2=4
situada à direita do plano y=0 (plano xz), orientada na direção positiva de y. Para resolver vamos usar que o Teorema de Stokes converte a integral de superfície de rotF numa integral de linha de F ao longo da fronteira partial S.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz que
integral duplaSrotFcdot dS =ointpartial SFcdot dr
Então basta achar a curva partial S, parametrizá-la com a orientação induzida pela normal de S (que aponta para +y), e calcular ointFcdot dr.

Passo 3

A fronteira partial S é a interseção do elipsoide com o plano y=0. Nesse plano a equação vira
4x^2+4z^2=4 Longrightarrow x^2+z^2=1,
que é um círculo de raio 1 em y=0. Como a normal de S aponta para +y, a orientação de partial S é sentido anti-horário quando visto do lado positivo de y.

Passo 4

Parametrizamos a curva por
r(t)=(cos t,,0,,sin t), 0<= t<=2pi,
que percorre o círculo x^2+z^2=1 no sentido anti-horário (visto de +y). Então
dr=(-sin t,,0,,cos t),dt
Na curva y=0 temos
F(r(t)) =l(e^xcdot0,,e^x z,,x^2zr) =(1,,e^cos t,sin t,,cos^2t,sin t)

Passo 5

Calculamos a integral de linha:
ointpartial SFcdot dr =integral0^2pi llang<=1,,e^cos tsin t,,cos^2tsin trrang<= cdot lang<= -sin t,,0,,cos trang<=,dt
Só os componentes x e z contribuem:
integral0^2pil(-sin t +cos^2tsin tcdotcos tr),dt =integral0^2pil(-sin t +cos^3t,sin tr),dt
Separamos:
integral0^2pi-sin t,dt = l[cos tr]0^2pi=0, integral0^2picos^3t,sin t,dt =0
(é integral de uma derivada de cos^4t/4 num período completo). Logo
ointpartial SFcdot dr=0

Resposta

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