Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é a metade do elipsoide
que se situa à direita do plano
orientado na direção do eixo positivo
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes para calcular
onde
e
é a metade do elipsoide
situada à direita do plano
(plano
), orientada na direção positiva de
. Para resolver vamos usar que o Teorema de Stokes converte a integral de superfície de
numa integral de linha de
ao longo da fronteira
.
Passo 2
O Teorema de Stokes diz que
Então basta achar a curva
, parametrizá-la com a orientação induzida pela normal de
(que aponta para
), e calcular
.
Passo 3
A fronteira
é a interseção do elipsoide com o plano
. Nesse plano a equação vira
que é um círculo de raio
em
. Como a normal de
aponta para
, a orientação de
é sentido anti-horário quando visto do lado positivo de
.
Passo 4
Parametrizamos a curva por
que percorre o círculo
no sentido anti-horário (visto de
). Então
Na curva
temos
Passo 5
Calculamos a integral de linha:
Só os componentes
e
contribuem:
Separamos:
(é integral de uma derivada de
num período completo). Logo