1. Resolva a equação linear de primeira ordem
d yd x=1+x+y+x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx = 1 + x + y + x,y
Isto é uma equação linear em y da forma
dydx + p(x),y = q(x)
Vamos identificar p(x) e q(x), achar o fator integrante e obter a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma padrão y' + p(x),y = q(x):
dydx - (1+x),y = 1 + x
Aqui temos
p(x) = -(1+x), q(x) = 1 + x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!gl(integral p(x),dxgr) = exp!l(integral -(1+x),dxr) = exp!l(-x - tfracx^22r)

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
expl(-x - tfracx^22r)dydx - (1+x)expl(-x - tfracx^22r)y = (1+x)expl(-x - tfracx^22r)
O lado esquerdo é a derivada do produto y,mu(x), pois
ddxl[y,e^-x - x^2/2r] = e^-x - x^2/2dydx - (1+x)e^-x - x^2/2,y

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
ddxl[y,e^-x - x^2/2r] = (1+x)e^-x - x^2/2 Longrightarrow integral dl[y,e^-x - x^2/2r] = integral (1+x)e^-x - x^2/2,dx
Para a integral da direita note que
ddxl(e^-x - x^2/2r) = -(1+x),e^-x - x^2/2,
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integral (1+x)e^-x - x^2/2,dx = -e^-x - x^2/2 + C
Assim
y,e^-x - x^2/2 = -e^-x - x^2/2 + C

Passo 6

Isolando y, factorizamos e^-x - x^2/2:
l(y + 1r)e^-x - x^2/2 = C Longrightarrow y + 1 = C,e^x + x^2/2 Longrightarrow y = C,e^x + x^2/2 - 1,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C,e^,x + tfracx^22 - 1,
com C constante arbitrária.

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