Encontre a solução particular para:
\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{x \ln x}, \operatorname{com} y(e)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x \,\ln x}
com condição inicial y(e)=\tfrac12.
O conteúdo é EDO separável, e vamos usar separação de variáveis seguida de integração.

Passo 2

Separe variáveis escrevendo
\frac{d y}{\sqrt{1 - y^{2}}} \;=\;\frac{d x}{x\,\ln x}
e prepare-se para integrar ambos os lados.

Passo 3

Calcule as integrais em cada membro:
na esquerda, use a primitiva de 1/\sqrt{1-y^2}; na direita, faça a substituição u=\ln x, du = dx/x.
\int \frac{d y}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \arcsin(y),
\int \frac{d x}{x\,\ln x} = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| = \ln\bigl|\ln x\bigr|.
Portanto, após integrar,
\arcsin(y) = \ln\bigl|\ln x\bigr| + C.

Passo 4

Aplique y(e)=\tfrac12. Quando x=e temos \ln x=1 e \ln|\ln x|=0. Logo
\arcsin\!\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{\pi}{6} = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{\pi}{6}.

Passo 5

Substituindo C na expressão geral, obtemos a solução particular
\arcsin(y) = \ln\bigl|\ln x\bigr| + \frac{\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad y = \sin\!\Bigl(\ln\bigl|\ln x\bigr| + \tfrac{\pi}{6}\Bigr).

Resposta

y(x) = \sin\!\Bigl(\ln\bigl|\ln x\bigr| + \tfrac{\pi}{6}\Bigr).

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