Resolva o PVI:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x^{2}}+x}{y^{2} e^{y^{3}}}, \operatorname{com} y(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x^2} + x}{y^2\,e^{y^3}}, \quad y(0)=1.
Isso é uma EDO de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em y num lado e todos os termos em x no outro para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y^2e^{y^3}dx:
y^2\,e^{y^3}\,dy = \bigl(e^{x^2}+x\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos cada lado:
\int y^2\,e^{y^3}\,dy = \int\bigl(e^{x^2}+x\bigr)\,dx.

Passo 4

No lado esquerdo fazemos a substituição u = y^3, du = 3y^2\,dy, então
\int y^2\,e^{y^3}\,dy = \frac{1}{3}\int e^u\,du = \frac{1}{3}e^{y^3}.
No lado direito separamos
\int e^{x^2}\,dx + \int x\,dx = \int e^{x^2}\,dx + \frac{x^2}{2}.
Logo a primitiva geral é
\frac{1}{3}e^{y^3} = \int e^{x^2}\,dx + \frac{x^2}{2} + C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0 a integral \int_0^0 e^{t^2}dt = 0 e x^2/2=0, então
\frac{1}{3}e^{1^3} = 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{3}e.
Substituindo C,
\frac{1}{3}e^{y^3} = \int_{0}^{x}e^{t^2}\,dt + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{3}e.

Passo 6

Multiplicamos por 3 e isolamos y:
e^{y^3} = 3\int_{0}^{x}e^{t^2}\,dt + \frac{3}{2}x^2 + e,
y^3 = \ln\Bigl(e + 3\int_{0}^{x}e^{t^2}\,dt + \tfrac{3}{2}x^2\Bigr),
y(x) = \biggl[\ln\Bigl(e + 3\int_{0}^{x}e^{t^2}\,dt + \tfrac{3}{2}x^2\Bigr)\biggr]^{\!1/3}.

Resposta

y(x) = \biggl[\ln\Bigl(e + 3\int_{0}^{x}e^{t^2}\,dt + \tfrac{3}{2}x^2\Bigr)\biggr]^{\!1/3}.

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