Resolva a equação diferencial:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+e^{x}}{y \ln y}, \text { para } y>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+e^{x}}{y\ln y},
com a condição y>1. Este é um caso clássico de equação de variáveis separáveis: podemos agrupar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro e depois integrar cada parte.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y\ln y e por dx, obtendo
y\ln y\,dy=(x^{2}+e^{x})\,dx.

Passo 3

Agora integramos o lado esquerdo
\int y\ln y\,dy.
Para isso usamos integração por partes: escolhemos
\begin{aligned} u&=\ln y,\quad &dv &=y\,dy,\\\ du&=\frac{1}{y}\,dy,\quad &v &=\frac{y^{2}}{2}. \end{aligned}
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\int y\ln y\,dy =\frac{y^{2}}{2}\ln y -\int\frac{y^{2}}{2}\cdot\frac{1}{y}\,dy =\frac{y^{2}}{2}\ln y-\frac{1}{2}\int y\,dy =\frac{y^{2}}{2}\ln y-\frac{y^{2}}{4}+C_{1}.

Passo 4

Agora integramos o lado direito
\int\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr)\,dx =\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+C_{2}.

Passo 5

Igualando as duas integrais e reunindo as constantes em uma só C\coloneqq C_{2}-C_{1}, temos
\frac{y^{2}}{2}\ln y-\frac{y^{2}}{4} =\frac{x^{3}}{3}+e^{x}+C.
Podemos multiplicar por 4 para simplificar a forma:
2y^{2}\ln y - y^{2} =\frac{4}{3}x^{3}+4e^{x}+C'.
Ou, de modo mais compacto,
y^{2}\bigl(2\ln y-1\bigr)=\frac{4}{3}x^{3}+4e^{x}+C'.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
y^{2}\bigl(2\ln y-1\bigr)=\frac{4}{3}x^{3}+4e^{x}+C',
onde C' é constante arbitrária e y>1.

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