Resolva a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com a condição
. Este é um caso clássico de equação de variáveis separáveis: podemos agrupar todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro e depois integrar cada parte.
Passo 2
Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
, obtendo
Passo 3
Agora integramos o lado esquerdo
Para isso usamos integração por partes: escolhemos
Logo
Passo 4
Agora integramos o lado direito
Passo 5
Igualando as duas integrais e reunindo as constantes em uma só
, temos
Podemos multiplicar por 4 para simplificar a forma:
Ou, de modo mais compacto,
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante arbitrária e
.