Resolva a equação não-linear:
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x-y}-1}{e^{x-y}+1}, usando a substituição u=e^{x-y}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não linear
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{x-y}-1}{e^{x-y}+1}
usando a substituição u = e^{x-y}. O conteúdo aqui é método de substituição em equações de primeira ordem e separação de variáveis.

Passo 2

Definimos u = e^{x-y}. Para relacionar du/dx com dy/dx, tomamos logaritmo:
\ln u = x - y.
Derivando em relação a x:
\frac{1}{u}\,\frac{du}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = u\Bigl(1 - \frac{dy}{dx}\Bigr).

Passo 3

Substituímos \frac{dy}{dx} = \frac{u-1}{u+1} na expressão de \frac{du}{dx}:
1 - \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{u-1}{u+1} = \frac{u+1 - (u-1)}{u+1} = \frac{2}{u+1},
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\frac{du}{dx} = u\cdot\frac{2}{u+1} = \frac{2u}{u+1}.

Passo 4

Agora separamos variáveis em
\frac{du}{dx} = \frac{2u}{u+1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u+1}{u}\,du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(1 + \frac{1}{u}\Bigr)du = 2\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(1 + \frac{1}{u}\Bigr)du = \int 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad u + \ln|u| = 2x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, u = e^{x-y}, temos a solução implícita
e^{x-y} + (x - y) = 2x + C \quad\Longrightarrow\quad e^{x-y} - x - y = C.
Essa é a forma geral da família de soluções.

Resposta

A solução geral dada pela substituição u = e^{x-y} fica implicitamente
e^{x-y} - x - y = C,
com C constante de integração.

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