Resolva o problema de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{x y^{2}+2 x}{y \cos \left(y^{2}\right)}, \operatorname{com} y(0)=\sqrt{\pi}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,y^{2}+2x}{y\cos\bigl(y^{2}\bigr)}
com a condição inicial y(0)=\sqrt{\pi}.
O conteúdo aqui é separação de variáveis, pois podemos agrupar tudo que depende de y de um lado e tudo que depende de x do outro.

Passo 2

Reescrevemos a equação de forma a separar as variáveis:
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,(y^{2}+2)}{y\cos\bigl(y^{2}\bigr)}
multiplicando ambos os lados por \dfrac{y\cos(y^{2})}{y^{2}+2} e por dx, obtemos
\frac{y\cos\bigl(y^{2}\bigr)}{y^{2}+2}\,dy \;=\; x\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado esquerdo, usamos a substituição
u=y^{2},\quad du=2y\,dy\quad\Longrightarrow\quad y\,dy=\frac{du}{2}.
Então
\int \frac{y\cos\bigl(y^{2}\bigr)}{y^{2}+2}\,dy =\frac12\int \frac{\cos(u)}{u+2}\,du \quad\text{e}\quad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
Multiplicando por 2, ficamos com
\int \frac{\cos(u)}{u+2}\,du = x^{2}+C',
onde u=y^{2}.

Passo 4

Para satisfazer y(0)=\sqrt{\pi}, basta tomar a integral definida de u=\pi até u=y^{2}. Assim escolhemos
\int_{\pi}^{y^{2}}\frac{\cos t}{t+2}\,dt = x^{2}.
Esse é o resultado implícito que já incorpora a constante de integração de modo a anular o lado direito quando x=0 e y^{2}=\pi.

Resposta

x^{2}=\int_{\pi}^{y^{2}}\frac{\cos t}{t+2}\,dt,
que define implicitamente y=y(x) satisfazendo y(0)=\sqrt{\pi}.

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