Encontre a solução particular para:
\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{x \ln x}, \operatorname{com} y(e)=\frac{1}{2} .

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem separável
\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 - y^{2}}}{x \ln x}
com condição inicial y(e)=\tfrac12. Vamos usar o método de separação de variáveis e integrais indefinidas.

Passo 2

Separe as variáveis colocando todos os y de um lado e todos os x do outro:
\frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \frac{dx}{x \ln x}

Passo 3

Integre os dois lados:
\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \int \frac{dx}{x \ln x}
O lado esquerdo é a primitiva de \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}, que é \arcsin(y). O lado direito é a primitiva de \frac{1}{x \ln x}, que é \ln\bigl|\ln x\bigr|. Logo obtemos a solução geral
\arcsin(y) = \ln\bigl|\ln x\bigr| + C.

Passo 4

Aplique a condição inicial y(e)=\tfrac12. Quando x=e temos \ln e=1 e portanto \ln(\ln e)=\ln(1)=0. Também \arcsin\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac{\pi}{6}. Substituindo:
\tfrac{\pi}{6} = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{\pi}{6}.

Passo 5

Substitua C na solução geral e isole y:
\arcsin(y) = \ln\bigl|\ln x\bigr| + \tfrac{\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad y = \sin\!\Bigl(\ln\bigl|\ln x\bigr| + \tfrac{\pi}{6}\Bigr).
Como a condição inicial exige x=e>1, temos \ln x>0 e podemos retirar as barras de valor absoluto: \ln|\ln x| = \ln(\ln x).

Resposta

y(x) = \sin\!\Bigl(\ln(\ln x) + \tfrac{\pi}{6}\Bigr).

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