Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial abaixo:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
Objetivo: encontrar a solução geral
(não foi dada condição inicial).
Passo 2
Identificamos a forma padrão desta equação: é uma equação linear de primeira ordem no formato
Aqui temos
Vou usar o método do fator integrante (integrating factor), que é o método padrão e direto para equações lineares de primeira ordem. A ideia é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
.
Passo 3
A fórmula do fator integrante é
Explicando:
é escolhida para que
e como
esta expressão fica igual a
. Assim multiplicamos a equação original por
e obtemos uma derivada total à esquerda, que é fácil de integrar.
Passo 4
Calculemos
com
:
Aqui usei que
, mas o fator multiplicativo
pode ser incorporado na constante de integração final, então tomamos
.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Expliquei:
, que coincide com o lado esquerdo.
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo dá simplesmente
. Para o lado direito fazemos uma substituição observando que a derivada de
é
. Assim
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 7
Isolamos
dividindo por
:
Simplificando o expoente
, obtemos a solução geral
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 8
(check rápido) Se quisermos checar, podemos derivar
e substituir na equação original; passando pelas contas vemos que a identidade se verifica, portanto a solução está correta. Você pode confiar nessa forma final.