Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial abaixo:
(a) y^{\prime}+2 x y=2 x e^{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime}+2x\,y=2x\,e^{x^{2}}.
Informações dadas:
\text{equação diferencial ordinária de primeira ordem, sem condição inicial.}çãáçã
Objetivo: encontrar a solução geral y(x) (não foi dada condição inicial).

Passo 2

Identificamos a forma padrão desta equação: é uma equação linear de primeira ordem no formato
y'+p(x)\,y=q(x).
Aqui temos
p(x)=2x,\qquad q(x)=2x\,e^{x^{2}}.
Vou usar o método do fator integrante (integrating factor), que é o método padrão e direto para equações lineares de primeira ordem. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x).

Passo 3

A fórmula do fator integrante é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Explicando: \mu(x) é escolhida para que
\big(\mu(x)\,y(x)\big)'=\mu(x)\,y'(x)+\mu'(x)\,y(x),
e como \mu'(x)=\mu(x)p(x) esta expressão fica igual a \mu(x)\big(y'+p(x)y\big). Assim multiplicamos a equação original por \mu(x) e obtemos uma derivada total à esquerda, que é fácil de integrar.

Passo 4

Calculemos \mu(x) com p(x)=2x:
\mu(x)=e^{\int 2x\,dx}=e^{x^{2}}.
Aqui usei que \int 2x\,dx=x^{2}+C, mas o fator multiplicativo \\ e^{C} pode ser incorporado na constante de integração final, então tomamos \mu(x)=e^{x^{2}}.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x^{2}}:
e^{x^{2}}y'+2x e^{x^{2}}y=2x e^{x^{2}}e^{x^{2}}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(e^{x^{2}}y\big)'=2x e^{2x^{2}}.
Expliquei: \big(e^{x^{2}}y\big)'=e^{x^{2}}y'+(e^{x^{2}})'y=e^{x^{2}}y'+2x e^{x^{2}}y, que coincide com o lado esquerdo.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{x^{2}}y\big)' \,dx=\int 2x e^{2x^{2}} \,dx.
O lado esquerdo dá simplesmente e^{x^{2}}y. Para o lado direito fazemos uma substituição observando que a derivada de e^{2x^{2}} é 4x e^{2x^{2}}. Assim
\int 2x e^{2x^{2}} \,dx=\tfrac{1}{2}\int 4x e^{2x^{2}} \,dx=\tfrac{1}{2} e^{2x^{2}}+C,
onde C é a constante de integração. Portanto
e^{x^{2}}y=\tfrac{1}{2} e^{2x^{2}}+C.

Passo 7

Isolamos y dividindo por e^{x^{2}}:
y=\tfrac{1}{2} e^{2x^{2}-x^{2}}+C e^{-x^{2}}.
Simplificando o expoente 2x^{2}-x^{2}=x^{2}, obtemos a solução geral
y=\tfrac{1}{2} e^{x^{2}}+C e^{-x^{2}},
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 8

(check rápido) Se quisermos checar, podemos derivar y e substituir na equação original; passando pelas contas vemos que a identidade se verifica, portanto a solução está correta. Você pode confiar nessa forma final.

Resposta

y=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C e^{-x^{2}}

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