Prove por indução que a afirmação a seguir é verdadeira para todo
Passo 1
Beleza, vamos provar por indução que para todo número natural
, a soma dos quadrados dos primeiros
números pares é igual a
. Ou seja, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que dependem de um número natural
. Vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Base da Indução:
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Substituindo
na soma:
Agora, substituindo
na fórmula do lado direito:
Como ambos os lados são iguais (4 = 4), a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução:
Agora, assumimos que a afirmativa é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, supomos que:
Essa suposição é a hipótese de indução e servirá como base para provar o próximo passo.
Passo 4
Passo Indutivo:
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
. Vamos considerar a soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, adicionando
a ambos os lados:
Vamos simplificar
:
Agora, somando os termos:
Fatorando
no numerador:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então, temos:
Fatorando
:
Portanto:
Isso corresponde exatamente à fórmula para
:
Portanto, a afirmação é válida para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
: