Prove por indução que a afirmação a seguir é verdadeira para todo n in N, n >= 1
2^2+4^2+6^2+ldots+(2 n)^2=2 n(n+1)(2 n+1)3

Passo 1

Beleza, vamos provar por indução que para todo número natural n >= 1 , a soma dos quadrados dos primeiros n números pares é igual a 2n(n+1)(2n+1)3 . Ou seja, queremos mostrar que:
2^2 + 4^2 + 6^2 + ldots + (2n)^2 = 2n(n+1)(2n+1)3
Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar afirmações que dependem de um número natural n . Vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Base da Indução:
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para n = 1 .
Substituindo n = 1 na soma:
2^2 = 4
Agora, substituindo n = 1 na fórmula do lado direito:
2 cdot 1 cdot (1+1) cdot (2 cdot 1 + 1)3 = 2 cdot 1 cdot 2 cdot 33 = 123 = 4
Como ambos os lados são iguais (4 = 4), a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução:
Agora, assumimos que a afirmativa é verdadeira para algum número natural k . Ou seja, supomos que:
2^2 + 4^2 + 6^2 + ldots + (2k)^2 = 2k(k+1)(2k+1)3
Essa suposição é a hipótese de indução e servirá como base para provar o próximo passo.

Passo 4

Passo Indutivo:
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para n = k , então também é verdadeira para n = k + 1 . Vamos considerar a soma até n = k + 1 :
2^2 + 4^2 + 6^2 + ldots + (2k)^2 + [2(k+1)]^2
Pela hipótese de indução, sabemos que:
2^2 + 4^2 + 6^2 + ldots + (2k)^2 = 2k(k+1)(2k+1)3
Então, adicionando [2(k+1)]^2 a ambos os lados:
2k(k+1)(2k+1)3 + [2(k+1)]^2
Vamos simplificar [2(k+1)]^2 :
[2(k+1)]^2 = 4(k+1)^2
Agora, somando os termos:
2k(k+1)(2k+1)3 + 4(k+1)^2 = 2k(k+1)(2k+1) + 12(k+1)^23
Fatorando 2(k+1) no numerador:
2(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]3 = 2(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)3
Simplificando dentro dos parênteses:
2k^2 + k + 6k + 6 = 2k^2 + 7k + 6
Então, temos:
2(k+1)(2k^2 + 7k + 6)3
Fatorando 2k^2 + 7k + 6 :
2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)
Portanto:
2(k+1)(2k + 3)(k + 2)3 = 2(k+1)(k + 2)(2k + 3)3
Isso corresponde exatamente à fórmula para n = k + 1 :
2(k+1)(k + 2)(2(k+1) + 1)3 = 2(k+1)(k + 2)(2k + 3)3
Portanto, a afirmação é válida para n = k + 1 .

Resposta

Assim, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo n in N, n >= 1 :
2^2 + 4^2 + 6^2 + ldots + (2n)^2 = 2n(n+1)(2n+1)3

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