Resolva a equação não-homogênea:
para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação não-homogênea
em
. Trata-se de uma equação de Euler–Cauchy, em que primeiro encontramos a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea assumimos
. Então
e substituindo em
vem
A raiz dupla é
, logo
Passo 3
Para achar uma solução particular fazemos a mudança de variável
Com isso
e a equação original fica
Passo 4
A equação em
é linear de coeficientes constantes. A parte homogênea
tem solução
Para uma solução particular tentamos
de onde
Substituindo em
dá
Logo
.
Passo 5
A solução geral em
é
Voltando a
, usando
e
, obtemos
onde renomeamos
e
.