Resolva a equação não-homogênea:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=ln x
para x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação não-homogênea
x^2y''-x y'+y=ln x
em x>0. Trata-se de uma equação de Euler–Cauchy, em que primeiro encontramos a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea assumimos y=x^r. Então
y'=r x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2
e substituindo em
x^2y''-x y'+y=0
vem
r(r-1)x^r-r x^r+x^r=[r(r-1)-r+1]x^r=(r-1)^2x^r=0
A raiz dupla é r=1, logo
yh=C1x+C2,xln x

Passo 3

Para achar uma solução particular fazemos a mudança de variável
t=ln x, u(t)=y(e^t)
Com isso
dydx=1xu', d^2ydx^2=1x^2l(u''-u'r),
e a equação original fica
u''-2u'+u = t

Passo 4

A equação em u é linear de coeficientes constantes. A parte homogênea u''-2u'+u=0 tem solução
uh=A e^t+B,t,e^t
Para uma solução particular tentamos
up=a,t+b,
de onde
u'p=a, u''p=0
Substituindo em u''-2u'+u=t
0-2a+(a t+b)=t Longrightarrow a=1,;b=2
Logo up=t+2.

Passo 5

A solução geral em u é
u(t)=A e^t+B,t,e^t+t+2
Voltando a y(x)=u(ln x), usando e^t=x e t=ln x, obtemos
y(x)=C1x+C2,xln x+ln x+2,
onde renomeamos Ato C1 e Bto C2.

Resposta

y(x)=C1x+C2,xln x+ln x+2

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