Encontre uma solução particular para:
y^prime prime-y=3 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y=3e^2x
O método que vamos usar é o dos coeficientes indeterminados: como o termo não-homogêneo é da forma e^ax, vamos chutar uma solução particular proporcional a e^ax.

Passo 2

Primeiro, olhamos a equação característica da parte homogênea
r^2-1=0Longrightarrow r=pm1
Como a=2 (do termo e^2x) não é raiz de r^2-1, não há ressonância e podemos tentar
yp(x)=A,e^2x,
onde A é uma constante a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x)=2A,e^2x,
yp''(x)=4A,e^2x
Substituindo em y''-y:
yp''-yp=(4A,e^2x)-(A,e^2x)=3A,e^2x

Passo 4

Para que isso seja igual a 3e^2x devemos ter
3A,e^2x=3e^2xLongrightarrow3A=3Longrightarrow A=1
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yp(x)=e^2x

Resposta

A solução particular é
yp(x)=e^2x

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