Resolva a EDO não-homogênea:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não‐homogênea
y'' + y = tan(x)
Trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A estratégia será encontrar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Solução da homogênea: considere
yh'' + yh = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x)

Passo 3

Para variação de parâmetros, tomamos duas soluções fundamentais
y1(x)=cos(x), y2(x)=sin(x)
O Wronskiano é
W = cos(x) & sin(x) -sin(x) & cos(x) = cos^2(x)+sin^2(x)=1
Definimos então
u1'(x) = -,y2(x),tan(x)W = -sin(x),tan(x),
u2'(x) = y1(x),tan(x)W = cos(x),tan(x)

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x) = -integral sin(x),tan(x),dx = -integral sin^2(x)cos(x),dx = -integrall(sec(x)-cos(x)r),dx = -lnl|sec(x)+tan(x)r| + sin(x),
u2(x) = integral cos(x),tan(x),dx = integral sin(x),dx = -cos(x)
Uma solução particular é
yp = u1(x),cos(x) + u2(x),sin(x) = l(-ln|sec(x)+tan(x)|+sin(x)r)cos(x) +(-cos(x))sin(x) = -cos(x),lnl|sec(x)+tan(x)r|

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x);-;cos(x),lnl|sec(x)+tan(x)r|

Resposta

y(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) - cos(x),lnl|sec(x)+tan(x)r|

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