Encontre uma solução para o problema
u_xy = 0 e u(x, x) = cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial parcial, que é basicamente uma equação que envolve derivadas de uma função com mais de uma variável. No caso, a equação é , e a gente também sabe que . Vamos precisar usar um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a derivada de segunda ordem de em relação a e depois a é igual a zero. Basicamente, isso indica que a função pode ser separada em funções que dependem apenas de ou apenas de .

Passo 3

Vamos integrar em relação a . Quando a segunda derivada é zero, a primeira derivada não depende de . Então, a gente tem:
onde é uma função que depende só de .

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, vamos usar a condição que a gente tem: . Vamos substituir por na nossa expressão para :
Isso significa que:
Para que isso seja verdadeiro para todo , uma solução simples é escolher e , o que nos dá .

Passo 6

Voltando à nossa expressão para , com e :
Mas precisamos ajustar o sinal para que a condição seja satisfeita. Portanto, a solução correta é:

Resposta

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