Encontre uma solução para o problema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial parcial, que é basicamente uma equação que envolve derivadas de uma função com mais de uma variável. No caso, a equação é
, e a gente também sabe que
. Vamos precisar usar um pouco de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que a derivada de segunda ordem de
em relação a
e depois a
é igual a zero. Basicamente, isso indica que a função
pode ser separada em funções que dependem apenas de
ou apenas de
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. Quando a segunda derivada é zero, a primeira derivada
não depende de
. Então, a gente tem:
onde
é uma função que depende só de
.
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a condição que a gente tem:
. Vamos substituir
por
na nossa expressão para
:
Isso significa que:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, uma solução simples é escolher
e
, o que nos dá
.
Passo 6
Voltando à nossa expressão para
, com
e
:
Mas precisamos ajustar o sinal para que a condição
seja satisfeita. Portanto, a solução correta é: