Encontre uma solução para o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial parcial. O conteúdo principal é Equações Diferenciais Parciais, mais especificamente a Equação de Transporte ou Advecção. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações lineares de primeira ordem e aplicar a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, onde
é a derivada de
em relação ao tempo
e
é a derivada de
em relação ao espaço
.
Passo 3
O próximo passo é entender que essa equação representa a advecção, que descreve como uma quantidade
se move ao longo do eixo
com velocidade
. A solução dessa equação pode ser encontrada usando o método das características.
Passo 4
Vamos aplicar o método das características. Esse método nos ajuda a transformar a equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária ao seguir curvas chamadas características. Para nossa equação:
Isso significa que ao longo da característica, a posição
muda em relação ao tempo
com uma velocidade
.
Passo 5
Integrando a equação das características:
Onde
é uma constante de integração que pode ser determinada pela condição inicial. Quando
, temos:
Então, a constante
inicial.
Passo 6
A solução geral ao longo das características é que a função
permanece constante. Ou seja:
Agora, usamos a condição inicial
.
Passo 7
Substituindo na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é