Encontre uma solução para o problema de valor inicial
u_t + pi u_x = 0 e u(x, 0) = x^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial parcial. O conteúdo principal é Equações Diferenciais Parciais, mais especificamente a Equação de Transporte ou Advecção. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações lineares de primeira ordem e aplicar a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, onde é a derivada de em relação ao tempo e é a derivada de em relação ao espaço .

Passo 3

O próximo passo é entender que essa equação representa a advecção, que descreve como uma quantidade se move ao longo do eixo com velocidade . A solução dessa equação pode ser encontrada usando o método das características.

Passo 4

Vamos aplicar o método das características. Esse método nos ajuda a transformar a equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária ao seguir curvas chamadas características. Para nossa equação:
Isso significa que ao longo da característica, a posição muda em relação ao tempo com uma velocidade .

Passo 5

Integrando a equação das características:
Onde é uma constante de integração que pode ser determinada pela condição inicial. Quando , temos:
Então, a constante inicial.

Passo 6

A solução geral ao longo das características é que a função permanece constante. Ou seja:
Agora, usamos a condição inicial .

Passo 7

Substituindo na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é

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