Encontre uma solução para o problema de valor inicial
u_xy = 0 e u(x, 0) = sen(x)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) dada por e uma condição inicial . O conteúdo da matéria envolve resolver EDPs com condições iniciais. Para resolver, precisamos integrar a equação e aplicar a condição fornecida.

Passo 2

A equação significa que a derivada mista de em relação a e é igual a zero. Isso implica que a derivada de em relação a é uma função apenas de :
onde é uma função de apenas.

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a :
onde é uma função de que surge da integração.

Passo 4

A solução geral da equação é, portanto:
onde é uma antiderivada de .

Passo 5

Aplicamos agora a condição inicial . Substituindo na solução geral:
Isso nos dá:

Passo 6

Para simplificar, podemos escolher , o que resulta em:

Passo 7

Assim, a solução da equação diferencial fica:
Aqui, continua sendo uma função arbitrária de , já que não temos mais condições para determiná-la.

Resposta

A solução geral para o problema de valor inicial é:
onde é uma função arbitrária de .

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