Encontre uma solução para o problema de valor inicial
Passo 1
Vamos analisar o enunciado. Temos uma equação diferencial parcial (EDP) dada por
e uma condição inicial
. O conteúdo da matéria envolve resolver EDPs com condições iniciais. Para resolver, precisamos integrar a equação e aplicar a condição fornecida.
Passo 2
A equação
significa que a derivada mista de
em relação a
e
é igual a zero. Isso implica que a derivada de
em relação a
é uma função apenas de
:
onde
é uma função de
apenas.
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
:
onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 4
A solução geral da equação é, portanto:
onde
é uma antiderivada de
.
Passo 5
Aplicamos agora a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá:
Passo 6
Para simplificar, podemos escolher
, o que resulta em:
Passo 7
Assim, a solução da equação diferencial fica:
Aqui,
continua sendo uma função arbitrária de
, já que não temos mais condições para determiná-la.
Resposta
A solução geral para o problema de valor inicial é:
onde
é uma função arbitrária de
.