Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando
.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial com as condições em
O que se pede:
- Encontrar a solução
quando
.
Lista das informações relevantes dadas:
- A equação é homogênea e linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
. - As condições iniciais são
e .]
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se uma solução da forma
. Substituindo
na equação obtém-se a chamada equação característica (polinômio em
). As raízes dessa equação característica determinam a forma geral da solução:
- Se as raízes
são reais e distintas, a solução geral é . - Se há raiz dupla
, a solução é . - Se as raízes são complexas conjugadas
, a solução é .
Agora aplicamos isso ao nosso caso.
Passo 3
Formamos a equação característica associada substituindo
:
Resolvendo essa equação quadrática com a fórmula de Bhaskara:
Assim as duas raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calculamos a derivada primeira para usar a condição
Agora impomos as condições iniciais em
. Para simplificar as contas, introduzimos
e
(sempre em notação TeX):
As condições dão o sistema
As condições dão o sistema
Resolvendo esse sistema: da segunda equação isolamos
na expressão de
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Podemos simplificar exponenciando as somas nos expoentes:
Essa forma é prática para analisar o comportamento quando
.
Passo 6
Análise do comportamento quando
:
- O primeiro termo é
, que cresce exponencialmente quando (pois ). - O segundo termo é
, que tende a zero exponencialmente rápido quando .
Portanto o termo dominante para
é
, e a solução diverge para
. Mais precisamente,