Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo e descreva o que ocorre com a solução quando x \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-9 y=0 \\\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial com as condições em x=1\): \[\begin{cases} y''+8y'-9y=0,\\[4pt] y(1)=1,\\[4pt] y'(1)=0. \end{cases}
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(x)\] que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. - Descrever o que acontece com \(y(x) quando x\to\infty.
Lista das informações relevantes dadas:
  • A equação é homogênea e linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y''+8y'-9y=0.
  • As condições iniciais são y(1)=1 e y'(1)=0.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo y=e^{r x} na equação obtém-se a chamada equação característica (polinômio em r). As raízes dessa equação característica determinam a forma geral da solução:
  • Se as raízes r_1,r_2 são reais e distintas, a solução geral é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
  • Se há raiz dupla r, a solução é y=(C_1+C_2 x)e^{r x}.
  • Se as raízes são complexas conjugadas a\pm i b, a solução é e^{a x}(A\cos bx + B\sin bx).
Agora aplicamos isso ao nosso caso.

Passo 3

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^{r x}:
r^{2}+8r-9=0.
Resolvendo essa equação quadrática com a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-8\pm\sqrt{8^{2}-4\cdot 1\cdot(-9)}}{2} =\frac{-8\pm\sqrt{64+36}}{2} =\frac{-8\pm\sqrt{100}}{2} =\frac{-8\pm 10}{2}.
Assim as duas raízes são
r_{1}=\frac{-8+10}{2}=1,\qquad r_{2}=\frac{-8-10}{2}=-9.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-9x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos a derivada primeira para usar a condição y'(1)=0\): \[y'(x)=C_{1}e^{x}-9C_{2}e^{-9x}.
Agora impomos as condições iniciais em x=1. Para simplificar as contas, introduzimos e:=e^{1} e e^{-9}:=e^{-9} (sempre em notação TeX):
As condições dão o sistema
\begin{cases} C_{1}e + C_{2}e^{-9}=1,\\[4pt] C_{1}e - 9C_{2}e^{-9}=0. \end{cases}
Resolvendo esse sistema: da segunda equação isolamos C_{1}e=9C_{2}e^{-9}\], portanto \[C_{1}=\frac{9C_{2}e^{-9}}{e}.\] Substituindo na primeira equação: \[\frac{9C_{2}e^{-9}}{e}\cdot e + C_{2}e^{-9}=1 \quad\Rightarrow\quad 9C_{2}e^{-9}+C_{2}e^{-9}=1 \quad\Rightarrow\quad 10C_{2}e^{-9}=1.\] Logo \[C_{2}=\frac{1}{10}e^{9}.\] Substituindo \(C_{2} na expressão de C_{1}:
C_{1}=\frac{9}{e}\,C_{2}e^{-9}=\frac{9}{e}\cdot\frac{1}{10}e^{9}\cdot e^{-9}=\frac{9}{10e}.]

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\frac{9}{10e}e^{x}+\frac{1}{10}e^{9}e^{-9x}.
Podemos simplificar exponenciando as somas nos expoentes:
y(x)=\frac{9}{10}e^{\,x-1}+\frac{1}{10}e^{\,9(1-x)}.
Essa forma é prática para analisar o comportamento quando x\to\infty.

Passo 6

Análise do comportamento quando x\to\infty:
  • O primeiro termo é \dfrac{9}{10}e^{x-1}, que cresce exponencialmente quando x\to\infty (pois e^{x-1}\to\infty).
  • O segundo termo é \dfrac{1}{10}e^{9(1-x)}=\dfrac{1}{10}e^{9}e^{-9x}, que tende a zero exponencialmente rápido quando x\to\infty.
Portanto o termo dominante para x\to\infty é \dfrac{9}{10}e^{x-1}, e a solução diverge para +\infty. Mais precisamente,
y(x)\sim \frac{9}{10}e^{x-1}\quad\text{quando }x\to\infty.

Resposta

y(x)=\frac{9}{10}e^{\,x-1}+\frac{1}{10}e^{\,9(1-x)}
\lim_{x\to\infty}y(x)=+\infty\quad\text{(com comportamento assintótico }y(x)\sim\tfrac{9}{10}e^{x-1}\text{).} ]ó

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