Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo.
Passo 1
O problema é encontrar a solução da EDO não homogênea
com condições iniciais
e
.
Conteúdo: superposição de soluções — uma parte particular para o termo e a resposta a impulso para
— e método dos coeficientes indeterminados junto com a função de Heaviside.
Conteúdo: superposição de soluções — uma parte particular para o termo
Passo 2
Procuramos um particular
que resolva
Como o lado direito é
, tentamos
. Substituindo:
Logo
Passo 3
A solução geral da parte homogênea é
Para
não há ainda o impulso, então
Usamos
e
.
Em :
Em
Assim, para
,
Passo 4
A resposta ao impulso da equação
é bem conhecida (ou obtida por transformada de Laplace) e vale
Passo 5
Pela superposição, o termo
gera um acréscimo
ativado em
. Usamos a função de Heaviside
.
Logo a solução completa é
Logo a solução completa é