Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo.
y^{\prime \prime}+9 y=\delta(t-2)+4 \mathrm{e}^{t}, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O problema é encontrar a solução da EDO não homogênea
y'' + 9y = \delta(t-2) + 4e^t,
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3.
Conteúdo: superposição de soluções — uma parte particular para o termo 4e^t e a resposta a impulso para \delta(t-2) — e método dos coeficientes indeterminados junto com a função de Heaviside.

Passo 2

Procuramos um particular y_p(t) que resolva
y'' + 9y = 4e^t.
Como o lado direito é 4e^t, tentamos y_p(t)=A\,e^t. Substituindo:
y_p'' + 9y_p = A e^t + 9A e^t = 10A e^t \overset{!}{=}4e^t \quad\Longrightarrow\quad 10A = 4 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{2}{5}.
Logo
y_p(t) = \tfrac{2}{5}\,e^t.

Passo 3

A solução geral da parte homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t).
Para t<2 não há ainda o impulso, então
y_1(t)=C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)+\tfrac{2}{5}e^t.
Usamos y_1(0)=2 e y_1'(0)=3.
Em t=0:
y_1(0)=C_1+\tfrac{2}{5}=2 \quad\Longrightarrow\quad C_1=\tfrac{8}{5},
y_1'(t)=-3C_1\sin(3t)+3C_2\cos(3t)+\tfrac{2}{5}e^t \;\Longrightarrow\; y_1'(0)=3C_2+\tfrac{2}{5}=3 \quad\Longrightarrow\quad C_2=\tfrac{13}{15}.
Assim, para t<2,
y_1(t)=\tfrac{8}{5}\cos(3t)+\tfrac{13}{15}\sin(3t)+\tfrac{2}{5}e^t.

Passo 4

A resposta ao impulso da equação
y''+9y=\delta(t)
é bem conhecida (ou obtida por transformada de Laplace) e vale
h(t)=\tfrac{1}{3}\sin(3t)\quad(t>0).

Passo 5

Pela superposição, o termo \delta(t-2) gera um acréscimo
\,h(t-2) ativado em t=2. Usamos a função de Heaviside u(t-2).
Logo a solução completa é
y(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{8}{5}\cos(3t)+\frac{13}{15}\sin(3t)+\frac{2}{5}e^t, &0\le t<2,\\[1em] \displaystyle \frac{8}{5}\cos(3t)+\frac{13}{15}\sin(3t)+\frac{2}{5}e^t \;+ \;u(t-2)\,\frac{1}{3}\sin\bigl(3(t-2)\bigr), &t\ge2. \end{cases}]

Resposta

y(t)=\tfrac{8}{5}\cos(3t)+\tfrac{13}{15}\sin(3t)+\tfrac{2}{5}e^t \;+\;\tfrac{1}{3}u(t-2)\,\sin\bigl(3(t-2)\bigr).

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