Encontre a solução do problema de valor inicial e calcule y(\pi / 6) e y(\pi).
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=-4 \delta\left(t-\frac{\pi}{2}\right), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 13y = -4\,\delta\Bigl(t - \frac{\pi}{2}\Bigr), \quad y(0)=1,\;y'(0)=0.
O conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem com força-impulso usando transformada de Laplace. Vamos calcular Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, inverter e depois avaliar y\bigl(\pi/6\bigr) e y(\pi).

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s,
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
\mathcal{L}\{\delta(t-\tfrac\pi2)\}=e^{-\frac{\pi}{2}s}.
Logo a equação transformada é
\bigl(s^2+4s+13\bigr)Y(s)\;-\;(s+4) \;=\;-4\,e^{-\frac{\pi}{2}s}.
Isolando Y(s), obtemos
Y(s) =\frac{s+4}{s^2+4s+13} \;-\;\frac{4\,e^{-\frac{\pi}{2}s}}{s^2+4s+13}.

Passo 3

Note que s^2+4s+13=(s+2)^2+3^2. Decompondo
\frac{s+4}{(s+2)^2+3^2} =\frac{(s+2)+2}{(s+2)^2+3^2} =\frac{s+2}{(s+2)^2+3^2}+\frac{2}{(s+2)^2+3^2}.
Pelas transformadas conhecidas,
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+2}{(s+2)^2+3^2}\Bigr\} =e^{-2t}\cos(3t), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{2}{(s+2)^2+3^2}\Bigr\} =\frac{2}{3}\,e^{-2t}\sin(3t).
E para a parte com deslocamento, usamos
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=u(t-a)\,f(t-a).
Como
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s+2)^2+3^2}\Bigr\} =\frac{1}{3}e^{-2t}\sin(3t),
vem
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{4\,e^{-\frac{\pi}{2}s}}{(s+2)^2+3^2}\Bigr\} =4\,u\Bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\, \frac{1}{3}e^{-2\bigl(t-\frac\pi2\bigr)}\sin\bigl(3(t-\tfrac\pi2)\bigr).
Portanto a solução é
y(t) =e^{-2t}\Bigl[\cos(3t)+\tfrac{2}{3}\sin(3t)\Bigr] \;-\;\tfrac{4}{3}\,u\Bigl(t-\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\, e^{-2\bigl(t-\frac\pi2\bigr)}\sin\bigl(3(t-\tfrac\pi2)\bigr).

Passo 4

Para t=\pi/6<\pi/2, o degrau u(t-\pi/2) vale zero, logo
y\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =e^{-2\cdot\frac{\pi}{6}}\Bigl[\cos\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{6}\bigr) +\tfrac{2}{3}\sin\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{6}\bigr)\Bigr] =e^{-\frac{\pi}{3}}\Bigl[\cos\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{2}{3}\sin\tfrac{\pi}{2}\Bigr] =\tfrac{2}{3}\,e^{-\frac{\pi}{3}}.
Para t=\pi>\pi/2, usamos ambas as parcelas:
\cos(3\pi)=-1, \sin(3\pi)=0, e \sin[3(\pi-\tfrac\pi2)]=\sin\tfrac{3\pi}{2}=-1.
Assim
y(\pi) =e^{-2\pi}\bigl[-1+0\bigr] \;-\;\tfrac{4}{3}\,e^{-2(\pi-\frac\pi2)}\bigl(-1\bigr) =-\,e^{-2\pi}+\tfrac{4}{3}\,e^{-\pi}.

Resposta

y\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{2}{3}e^{-\frac{\pi}{3}},\qquad y(\pi)=-e^{-2\pi}+\tfrac{4}{3}e^{-\pi}.

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