Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo.
y^{\prime \prime}-y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (0 \leq t<\pi) \\\ \operatorname{sen} t & (t \geq \pi) \end{array}, \quad y(0)=3, \quad y^{\prime}(0)=0 .\right.

Passo 1

O enunciado define um problema de valor inicial para a equação diferencial
y'' - y = \begin{cases} 0, & 0 \le t < \pi,\\\ \sin t, & t \ge \pi, \end{cases}
com condições iniciais
y(0)=3,\qquad y'(0)=0.
O método é resolver a equação em cada intervalo (primeiro homogênea, depois não-homogênea), e depois impor continuidade de y e y' em t=\pi.

Passo 2

Para 0 \le t<\pi\) temos \[y''-y=0.
A solução geral é
y_1(t)=C_1e^t + C_2e^{-t}.
Usando y(0)=3 e y'(0)=0:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 3,\\\ C_1 - C_2 = 0, \end{cases}
logo (C_1=C_2=\tfrac32]. Portanto
y_1(t)=\tfrac32e^t+\tfrac32e^{-t}=3\operatorname{cosh} t,\quad 0\le t<\pi.

Passo 3

Para t\ge\pi temos
y''-y=\sin t.
A solução geral é soma da homogênea e de uma particular. A homogênea é
y_h(t)=C_3e^t+C_4e^{-t}.
Para a particular, suponha y_p=A\sin t+B\cos t. Calcula-se
y_p''-y_p=-2A\sin t-2B\cos t\stackrel!=\sin t,
de onde A=-\tfrac12, B=0. Assim
y_2(t)=C_3e^t+C_4e^{-t}-\tfrac12\sin t,\quad t\ge\pi.

Passo 4

Impondo continuidade de y e y' em t=\pi:
y_1(\pi)=y_2(\pi),\qquad y_1'(\pi)=y_2'(\pi).
Como y_1(\pi)=3\operatorname{cosh}\pi e \sin\pi=0, obtemos
C_3e^{\pi}+C_4e^{-\pi}=3\operatorname{cosh}\pi.
Além disso y_1'(\pi)=3\operatorname{sinh}\pi e
y_2'(t)=C_3e^t - C_4e^{-t}-\tfrac12\cos t,
logo em t=\pi surge
C_3e^{\pi}-C_4e^{-\pi}+\tfrac12=3\operatorname{sinh}\pi.
Resolvendo o sistema para C_3 e C_4
C_3=\tfrac32-\tfrac14e^{-\pi},\qquad C_4=\tfrac32+\tfrac14e^{\pi}.

Passo 5

Substituindo em y_2(t) e, para uma forma mais compacta, reescrevendo
\tfrac14(e^{\pi-t}-e^{t-\pi})=\tfrac12\operatorname{sinh}(\pi-t), obtemos para t\ge\pi:
y_2(t) =3\operatorname{cosh} t+\tfrac12\operatorname{sinh}(\pi-t)-\tfrac12\sin t.

Resposta

Para todo t\ge0, a solução é
y(t)= \begin{cases} 3\operatorname{cosh} t, & 0\le t<\pi,\\\\ 3\operatorname{cosh} t+\tfrac12\operatorname{sinh}(\pi-t)-\tfrac12\sin t, & t\ge\pi. \end{cases}

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