Resolva as seguintes equações diferenciais
4 y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
4,y^primeprime + y^prime = 0
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem, com coeficientes constantes e homogênea. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Suponha uma solução da forma
y = e^r x
Então
y^prime = r,e^r x, y^primeprime = r^2 e^r x
Substituindo na EDO:

Passo 3

4,(r^2e^r x) + (r,e^r x) = 0 Longrightarrow e^r x,l(4r^2 + rr) = 0
Como e^r xneq0, sobra a equação característica
4r^2 + r = 0

Passo 4

Fatorando a equação característica:
r,(4r + 1) = 0,
logo as raízes são
r1 = 0, r2 = -tfrac14

Passo 5

Em EDOs lineares e homogêneas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1x + C2 e^r2x = C1 e^0cdot x + C2 e^-tfracx4

Passo 6

Como e^0cdot x=1, simplificamos para obter a forma final:
y(x) = C1 + C2,e^-tfracx4

Resposta

y(x) = C1 + C2,e^-tfracx4,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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