Um objeto de massa m preso a uma mola que está sujeita a uma força de amortecimento, tem equação diferencial de segunda ordem dada por:
m d^2 xd t+c d xd t+k x=0
Sendo x a posição da mola, t o tempo, c a constante de amortecimento e k a constante da mola. Nesta condições determine a posição do objeto x(t) sabendo que sua massa é de 2 kg , a constante da mola é k=128 e a constante de amortecimento c=40. O objeto parte da origem, ou seja, x(0)=0 e a velocidade inicial é de 0,6 m / s, ou seja, v(0)=x t(0)=0,6.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial de segunda ordem de um oscilador amortecido:
m d^2 xdt^2 + c dxdt + k x = 0
com m=2, c=40, k=128 e condições iniciais x(0)=0, x'(0)=0,6. Vamos dividir tudo por m para obter a forma padrão e depois achar as raízes da equação característica.

Passo 2

Dividindo por m=2 obtemos
d^2xdt^2 + cmdxdt + kmx = 0
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d^2xdt^2 + 20,dxdt + 64,x = 0
A equação característica é
r^2 + 20r + 64 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = 20^2 - 4cdot1cdot64 = 400 - 256 = 144,
portanto as raízes são
r = -20 pm raiz1442 = -20 pm 122,
resultando em r1 = -4 e r2 = -16.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
x(t) = C1 e^-4t + C2 e^-16t
Usando x(0)=0 temos C1 + C2 = 0, ou seja C2 = -C1.

Passo 5

Derivando,
x'(t) = -4C1 e^-4t -16C2 e^-16t = -4C1 e^-4t + 16C1 e^-16t
Em t=0, x'(0)=0,6 implica
-4C1 + 16C1 = 12C1 = 0,6, C1 = 0,05, C2 = -0,05

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a posição:
x(t) = 0,05l(e^-4t - e^-16tr)

Resposta

x(t) = 0,05l(e^-4t - e^-16tr)

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