Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
l9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
9y''-12y'+4y=0
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-1.
O método consiste em formar o polinômio característico, achar suas raízes, montar a solução geral e em seguida usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Substituímos y=e^rx, de onde y'=re^rx e y''=r^2e^rx. O polinômio característico é
9r^2 - 12r + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = (-12)^2 - 4cdot9cdot4 = 144 - 144 = 0,
logo há raiz dupla
r = 122cdot9 = 23
Para raiz dupla a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^2x3

Passo 4

Usamos y(0)=2:
y(0) = C1 = 2
Em seguida derivamos
y'(x) = l(C2 + tfrac23(C1 + C2,x)r)e^2x3 = l(C2 + tfrac23C1 + tfrac23C2,xr)e^2x3
Aplicando y'(0)=-1:
y'(0) = C2 + tfrac23C1 = C2 + tfrac43 = -1 Longrightarrow C2 = -1 - tfrac43 = -tfrac73

Passo 5

Substituindo C1=2 e C2=-tfrac73 na solução geral, obtemos
y(x) = l(2 - tfrac73xr)e^2x3

Resposta

y(x) = l(2 - tfrac73xr)e^2x3

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