Explique como você encontraria uma solução de cada uma das EDOs abaixo.
4 y^prime+x y=cos (x),

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
4y' + x,y = cos(x)
Trata-se de uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos na forma padrão dividindo tudo por 4:
y' + x4,y = 14cos(x)
Aqui P(x)=tfracx4 e Q(x)=tfrac14cos(x).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral x4,dxr) = exp!l(x^28r)

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
mu(x),y' + mu(x),P(x),y = mu(x),Q(x),
e o lado esquerdo vira a derivada exata
ddxl(e^x^2/8,yr) = 14,e^x^2/8cos(x)

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
e^x^2/8,y = 14integral e^x^2/8cos(x),dx + C
Isolando y chegamos à forma da solução geral:
y(x) = e^-x^2/8l(C + tfrac14integral^x e^t^2/8cos(t),dtr)

Resposta

y(x) = e^-x^2/8l(C + tfrac14integral^x e^t^2/8cos(t),dtr)

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