Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral d xraiz(x^2+2 x+5)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxraizl(x^2+2x+5r)^3
Este é um problema de integração que envolve completar o quadrado e usar uma substituição trigonométrica para funções da forma integral dx/(a^2+x^2)^3/2.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no radicando:
x^2+2x+5 = (x+1)^2+4
Assim a integral fica
integral dxl((x+1)^2+4r)^3/2

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica
x+1 = 2tantheta, dx = 2sec^2theta,dtheta
Então
(x+1)^2+4 = 4tan^2theta +4 = 4sec^2theta,
e
l((x+1)^2+4r)^3/2 = l(4sec^2thetar)^3/2 = 8sec^3theta

Passo 4

Substituindo na integral:
integral dxl((x+1)^2+4r)^3/2 = integral 2sec^2theta,dtheta8sec^3theta = 14integral sec^2thetasec^3theta,dtheta = 14integral costheta,dtheta = 14sintheta + C

Passo 5

Voltando à variável x, da relação x+1=2tantheta temos
sintheta = opostohipotenusa = x+1raiz(x+1)^2+4 = x+1raizx^2+2x+5
Logo a primitiva é
14,x+1raizx^2+2x+5 + C

Resposta

integral dxraizl(x^2+2x+5r)^3 = x+14raizx^2+2x+5 + C

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