Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
ly^prime prime+3 y^prime=0 y(0)=-2 y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' = 0
e as condições iniciais
y(0) = -2, y'(0) = 3
O conteúdo aqui é solução de equações diferenciais lineares homogêneas usando a equação característica e, em seguida, impor as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
lambda^2 + 3lambda = 0
Fatorando, temos
lambda(lambda + 3) = 0
logo as raízes são
lambda1 = 0, lambda2 = -3
Assim, a solução geral é
y(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^-3x = C1 + C2 e^-3x

Passo 3

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = -3,C2 e^-3x
Em x=0 temos
y(0)=C1 + C2 = -2,
y'(0) = -3,C2 = 3
Da segunda equação segue C2 = -1 e, substituindo na primeira, C1 = -1.

Resposta

y(x) = -1 ;-; e^-3x

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