Explique como você encontraria uma solução de cada uma das EDOs abaixo.
y^prime-x y=cos (x) y^2,

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
y' - x,y = cos(x),y^2,
que é do tipo de Bernoulli com parâmetro n=2. Para resolver, vamos lembrar o método de transformação que leva uma Bernoulli a uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão
y' + p(x),y = q(x),y^n,
identificando
p(x) = -,x, q(x)=cos(x), n=2

Passo 3

Fazemos a substituição típica de Bernoulli
z = y^1-n = y^-1
Logo
z' = -,y^-2,y'

Passo 4

Expressamos y' em função de z'. Da definição de z vem
y' = -,y^2,z'
Substituindo em
y' - x,y = cos(x),y^2,
obtemos
-,y^2,z' - x,y = cos(x),y^2
Dividindo tudo por y^2 e usando 1/y=z, resulta
-,z' - x,z = cos(x)
Multiplicando por -1, a equação para z fica
z' + x,z = -cos(x),
que é linear de 1.ª ordem.

Passo 5

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral x,dx = e^x^2/2
Multiplicando a equação de z por mu(x), temos
e^x^2/2,z' + x,e^x^2/2,z = -cos(x),e^x^2/2,
isto é
ddxl(e^x^2/2,zr) = -cos(x),e^x^2/2

Passo 6

Integramos ambos os lados
e^x^2/2,z = -integral cos(x),e^x^2/2,dx + C,
onde C é constante de integração. Portanto
z(x) = e^-,x^2/2l(C - integral cos(x),e^x^2/2,dxr)

Passo 7

Voltando à variável original y, lembramos que y=1/z. Assim a solução geral é
y(x) = 1,e^-,x^2/2l(C - integral cos(x),e^x^2/2,dxr)! = e^x^2/2,1,C - integral cos(x),e^x^2/2,dx,

Resposta

A equação é uma Bernoulli com n=2. Fazendo z=y^-1 transforma-se no linear
z' + x,z = -cos(x),
cuja solução leva a
y(x) = e^x^2/2,gl[C - integral cos(x),e^x^2/2,dxgr]^-1

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