Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime-2 y=t^2 e^2 t, y(1)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 1ª ordem y' - 2y = t^2 e^2t, com valor inicial y(1)=-1. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante é
mu(t)=e^integral -2,dt=e^-2t
Multiplicando a EDO por mu(t) obtém-se
e^-2ty' -2e^-2ty = t^2,
e o lado esquerdo é
ddtl(e^-2tyr)=t^2

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^-2ty = integral t^2,dt = t^33 + C
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y = e^2tl(t^33+Cr)

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(1)=-1:
-1 = e^2l(1^33+Cr) Longrightarrow 13+C = -e^-2 Longrightarrow C = -e^-2-13

Passo 5

Substituindo C na solução geral:
y = e^2tl(t^33 - e^-2 - 13r) = e^2t(t^3-1)3 - e^2(t-1)

Resposta

y(t) = e^2t(t^3-1)3 - e^2(t-1)

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