Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
u^prime+2 t u=2 t e^-t^2, u(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem linear
u'(t) + 2,t,u(t) = 2,t,e^-t^2,
com condição inicial u(0) = -1.
O método é o de fator integrante: vamos encontrar mu(t) tal que a equação se torne uma derivada de produto.

Passo 2

Computamos o fator integrante
mu(t) = exp!l(!integral 2,t,dtr) = expl(t^2r)
Multiplicando toda a EDO por mu(t), obtemos
e^t^2u'(t) + 2,t,e^t^2u(t) = 2,t,e^t^2e^-t^2

Passo 3

O lado esquerdo é exatamente a derivada de u(t),e^t^2:
ddtl(u(t),e^t^2r) = e^t^2u'(t) + 2,t,e^t^2u(t),
e o lado direito simplifica para
2,t,e^t^2e^-t^2 = 2,t
Logo a EDO vira
ddtl(u,e^t^2r) = 2,t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
u(t),e^t^2 = integral 2,t,dt + C = t^2 + C

Passo 5

Isolando u(t), obtemos a solução geral
u(t) = e^-t^2,l(t^2 + Cr)

Passo 6

Aplicamos a condição inicial u(0)=-1:
u(0) = e^0,(0 + C) = C = -1

Resposta

u(t) = l(t^2 - 1r)e^-t^2

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