Obtenha uma parametrização para as curvas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para obter uma parametrização para as curvas definidas pela equação
. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre parametrização de curvas. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas polares, que facilitam bastante quando a equação envolve
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, qualquer ponto
pode ser representado por
, onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo com o eixo positivo x. Além disso, sabemos que
. Vamos substituir essas expressões na equação dada.
Passo 3
Substituindo
e
na equação
, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Para resolver para
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 5
Mas podemos simplificar ainda mais essa expressão. Sabemos que
. Então, a equação fica:
Passo 6
Agora que temos
em termos de
, podemos expressar as coordenadas
e
também em termos de
. Usando as expressões de coordenadas polares:
Resposta
A parametrização das curvas definidas por
é dada por:
para valores de
onde
.