Obtenha uma parametrização para as curvas.
(x^2+y^2)^2=x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para obter uma parametrização para as curvas definidas pela equação (x^2+y^2)^2=x y. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre parametrização de curvas. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas polares, que facilitam bastante quando a equação envolve x^2 + y^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) pode ser representado por (r cos theta, r sin theta), onde r é a distância do ponto à origem e theta é o ângulo com o eixo positivo x. Além disso, sabemos que x^2 + y^2 = r^2. Vamos substituir essas expressões na equação dada.

Passo 3

Substituindo x = r cos theta e y = r sin theta na equação (x^2+y^2)^2=x y, temos:
(r^2)^2 = (r cos theta)(r sin theta)
Isso simplifica para:
r^4 = r^2 cos theta sin theta

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Podemos dividir ambos os lados por r^2 (desde que r neq 0):
r^2 = cos theta sin theta
Para resolver para r, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
r = raizcos theta sin theta

Passo 5

Mas podemos simplificar ainda mais essa expressão. Sabemos que cos theta sin theta = 12 sin (2theta). Então, a equação fica:
r = raiz12 sin (2theta) = raizsin (2theta)raiz2

Passo 6

Agora que temos r em termos de theta, podemos expressar as coordenadas x e y também em termos de theta. Usando as expressões de coordenadas polares:
x = r cos theta = raizsin (2theta)raiz2 cos theta
y = r sin theta = raizsin (2theta)raiz2 sin theta

Resposta

A parametrização das curvas definidas por (x^2+y^2)^2=x y é dada por:
x(theta) = raizsin (2theta)raiz2 cos theta
y(theta) = raizsin (2theta)raiz2 sin theta
para valores de theta onde sin (2theta) >= 0.

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