Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(1+x^2) d fd x+4 x f=(1+x^2)^-2, f(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
(1+x^2),dfdx+4x,f=(1+x^2)^-2, f(0)=2
Esse é um caso de EDO linear de primeira ordem. Primeiro reescrevemos em forma padrão
dfdx+4x1+x^2,f=(1+x^2)^-3
Aqui P(x)=tfrac4x1+x^2 e Q(x)=(1+x^2)^-3. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral 4x1+x^2,dxr)
Note que integral tfrac4x1+x^2dx=2ln(1+x^2). Logo
mu(x)=expl(2ln(1+x^2)r)=(1+x^2)^2

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
(1+x^2)^2dfdx+4x(1+x^2),f=(1+x^2)^-1
O lado esquerdo é exatamente ddxl((1+x^2)^2fr). Assim
ddxl((1+x^2)^2fr)=(1+x^2)^-1
Integramos em x:
(1+x^2)^2f=integral11+x^2,dx+C =arctan x + C

Passo 4

Isolando f
f(x)=arctan x + C(1+x^2)^2
Usamos a condição f(0)=2: como arctan(0)=0 e (1+0^2)^2=1, segue C=2. Portanto
f(x)=arctan x + 2(1+x^2)^2

Resposta

f(x)=arctan x + 2(1+x^2)^2

Exercícios relacionados