Justifique suas respostas.
Considere a região R do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^2 e y=8-x^2.
Esboce a região R e calcule sua área.

Passo 1

O enunciado pede esboçar e calcular a área da região R no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^2 e y=8 - x^2. Vamos usar interseção de curvas, descrição da região em termos de desigualdades e integral definida para área entre curvas.

Passo 2

Para esboçar R, note que y=x^2 é uma parábola voltada para cima com vértice em (0,0), e y=8 - x^2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em (0,8). A região está entre essas duas curvas e no primeiro quadrante, fechada também pela reta x=0.

Passo 3

Determinamos o ponto de interseção resolvendo
x^2 = 8 - x^2
Assim
2x^2 = 8 Longrightarrow x^2 = 4 Longrightarrow x = 2(x>=0)
Substituindo em y = x^2 vem y = 4. Logo as curvas se cruzam em (2,4).

Passo 4

Em função de x, a região R é
0 <= x <= 2, x^2 <= y <= 8 - x^2
A área é dada por
Área(R) = integral0^2l[(8 - x^2) - (x^2)r],dx = integral0^2 (8 - 2x^2),dx Á

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^2 (8 - 2x^2),dx = l[8x - tfrac23x^3r]0^2 = l(16 - tfrac163r) - 0 = tfrac48 - 163 = tfrac323

Resposta

323

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