Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
cos ^2 x sen x d y+(y cos ^3 x-1) d x ;=0 y(pi / 4)=4

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
cos^2x,sin x,dy+l(ycos^3x-1r),dx=0, yl(tfracpi4r)=4
O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e vamos tratar isso como uma equação linear em y(x).

Passo 2

Primeiro isolamos dy/dx. Dividindo a equação por cos^2x,sin x (supondo cos xneq0 e sin xneq0), obtemos
dydx+underbracecos^3xcos^2x,sin xP(x),y =underbrace1cos^2x,sin xQ(x)
Simplificando os coeficientes,
dydx+cot x,y =sec^2x,csc x

Passo 3

Reconhecemos o formato padrão
dydx+P(x),y=Q(x),
com P(x)=cot x. O fator integrante é
mu(x)=exp!gl(integral P(x),dxgr) =exp!l(integralcot x,dxr) =exp!l(ln|sin x|r) =sin x

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=sin x, fica
sin xdydx+sin xcot x,y =sin xsec^2x,csc x Longrightarrow sin xdydx+ycos x =sec^2x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto ysin x, pois
ddxl(ysin xr) =sin xdydx+ycos x
Logo
ddxl(ysin xr) =sec^2x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
ysin x=integralsec^2x,dx =tan x + C
Portanto a solução geral é
y(x)=tan x + Csin x =sec x + C,csc x

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(pi/4)=4. Como
sec(pi/4)=raiz2 e csc(pi/4)=raiz2, temos
4=yl(tfracpi4r) =raiz2 + C,raiz2 =raiz2,(1+C) Longrightarrow 1+C=4raiz2=2raiz2 Longrightarrow C=2raiz2-1

Resposta

boxedy(x)=sec x +l(2raiz2-1r)csc x

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