Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e vamos tratar isso como uma equação linear em
.
Passo 2
Primeiro isolamos
. Dividindo a equação por
(supondo
e
), obtemos
Simplificando os coeficientes,
Passo 3
Reconhecemos o formato padrão
com
P(x)=cot x . O fator integrante é
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
mu(x)=sin x , fica
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
ysin x , pois
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Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
x :
Portanto a solução geral é
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
y(pi/4)=4 . Como
sec(pi/4)=raiz2 e
csc(pi/4)=raiz2 , temos