(OBMEP - Banco de Questões 2010, nível 1, problema 28) Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível?
Passo 1
O enunciado fala de distribuir
livros de Matemática e
de Português em estantes, sem misturar as disciplinas e com igual quantidade de livros em cada estante. Queremos usar o menor número de estantes possível. Para isso, precisamos encontrar o maior número de livros que cabe em cada estante de forma que divida exatamente
e
. Trata-se de calcular o máximo divisor comum (M.D.C.) entre
e
.
Passo 2
Vamos usar o algoritmo de Euclides para encontrar
:
Como o resto chegou a zero, o último resto não nulo é o M.D.C. Logo,
Passo 3
O M.D.C.
é a maior quantidade de livros que podemos colocar em cada estante dividindo exatamente
e
. Assim teremos o menor número de estantes:
- Para Matemática:
estantes. - Para Português:
estantes.
Resposta
Ela deve colocar
livros em cada estante.