(OBMEP - Banco de Questões 2010, nível 1, problema 28) Uma bibliotecária recebe 130 livros de Matemática e 195 livros de Português. Ela quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada estante, sem misturar livros de Matemática e de Português na mesma estante. Quantos livros ela deve colocar em cada estante para que o número de estantes utilizadas seja o menor possível?

Passo 1

O enunciado fala de distribuir 130 livros de Matemática e 195 de Português em estantes, sem misturar as disciplinas e com igual quantidade de livros em cada estante. Queremos usar o menor número de estantes possível. Para isso, precisamos encontrar o maior número de livros que cabe em cada estante de forma que divida exatamente 130 e 195. Trata-se de calcular o máximo divisor comum (M.D.C.) entre 130 e 195.

Passo 2

Vamos usar o algoritmo de Euclides para encontrar gcd(130,195):
195 = 130 times 1 + 65
130 = 65 times 2 + 0
Como o resto chegou a zero, o último resto não nulo é o M.D.C. Logo,
gcd(130,195) = 65

Passo 3

O M.D.C. =65 é a maior quantidade de livros que podemos colocar em cada estante dividindo exatamente 130 e 195. Assim teremos o menor número de estantes:
  • Para Matemática: 130 / 65 = 2 estantes.
  • Para Português: 195 / 65 = 3 estantes.

Resposta

Ela deve colocar ,65 livros em cada estante.

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