Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(e^y+x) y^prime=1 ; y(3)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
l(e^y+xr),dydx=1, y(3)=0
Reconhecemos que não é imediatamente separável nem linear em y, mas podemos escrever em forma diferencial exata após encontrar um fator integrante que dependa só de y.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma
underbrace-1M(x,y),dx+underbracel(e^y+xr)N(x,y),dy=0
Calculamos
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=1
Vemos que Myneq Nx, mas
Nx-MyM=1-0-1=-1
depende apenas de y. Logo existe um fator integrante mu(y) que satisfaz
mu'(y)mu(y)=-1 ;;Longrightarrow;; mu(y)=e^-y

Passo 3

Multiplicamos tudo por mu(y)=e^-y, obtendo
-,e^-y,dx+l(e^-ye^y+x,e^-yr),dy = -,e^-y,dx+l(1+x,e^-yr),dy =0
Agora é exata, pois
partialpartial yl(-e^-yr)=e^-y, partialpartial xl(1+x,e^-yr)=e^-y
Procuramos então F(x,y) tal que
Fx=-e^-y, Fy=1+x,e^-y
Integrando Fx em x:
F(x,y)=-x,e^-y+h(y)
Derivando em y e igualando a Fy:
Fy = -x(-e^-y)+h'(y) = x,e^-y+h'(y) overset!=1+x,e^-y ;Longrightarrow; h'(y)=1 ;Longrightarrow; h(y)=y
Então a solução implícita é
F(x,y)=-x,e^-y+y=C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(3)=0:
-3,e^0+0=C ;Longrightarrow; C=-3
Logo
-y,e^-y+y=-3 Longrightarrow y - x,e^-y=-3
Reescrevendo:
x,e^-y=y+3

Passo 5

Para isolar y usamos a função de Lambert W. Da identidade
x=e^y,(y+3)
escrevemos
x,e^3=(y+3),e^y+3
Logo
y+3=Wl(x,e^3r) ;Longrightarrow; y(x)=Wl(x,e^3r)-3

Resposta

boxedy(x)=Wl(x,e^3r)-3

Exercícios relacionados