Resolva as equações homogêneas:
(x^2+3 x y+y^2) d x-x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeiro ordem
(x^2+3xy+y^2),dx - x^2,dy = 0,
que é homogênea, pois os dois termos têm grau 2 em x,y. Para resolver, usamos a substituição
y = v x,
onde v é função de x.

Passo 2

Da substituição y = v x segue
dy = v,dx + x,dv
Substituindo em
(x^2+3xy+y^2),dx - x^2,dy = 0 obtemos
l(x^2+3x(vx)+(vx)^2r),dx ;-; x^2l(v,dx + x,dvr)=0

Passo 3

Desenvolvendo e agrupando termos em dx e dv:
x^2(1+3v+v^2),dx - x^2v,dx - x^3,dv = 0 Longrightarrow x^2(1+2v+v^2),dx - x^3,dv = 0
Como 1+2v+v^2=(1+v)^2, dividimos por x^2 e isolamos:
(1+v)^2,dx - x,dv = 0 Longrightarrow dxx = dv(1+v)^2

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral dxx = integral dv(1+v)^2 Longrightarrow lnlvert xrvert = -11+v + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando a y pela relação v = tfracyx, temos
11+v = 11 + tfracyx = xx+y
Logo a solução implícita geral é
lnlvert xrvert + xx+y = C

Resposta

lnlvert xrvert + dfracxx+y = C

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