(OBMEP - Banco de Questões 2010, nível 1, problema 158) No ponto de ônibus perto de sua casa, Quinzinho pode pegar os ônibus de duas linhas para ir à escola. Os ônibus de uma linha passam de 15 em 15 minutos e os de outra linham passam de 25 em 25 minutos, sendo que às
da manhã os ônibus das duas linhas passam juntos.
(a) A que horas passarão juntos novamente?
(b) Entre
da manhã e a meia noite, quais são os horários em que os ônibus passam juntos neste ponto perto da casa de Quinzinho?
(a) A que horas passarão juntos novamente?
(b) Entre
Passo 1
A questão diz que há dois ônibus que passam periodicamente a cada 15 minutos e a cada 25 minutos, e que ambos passam juntos às 7h30. Precisamos usar o conceito de mínimo múltiplo comum (MMC) de períodos para saber quando eles voltam a coincidir e depois listar todas as coincidências até a meia-noite.
Passo 2
Para eventos periódicos que coincidem em um instante inicial, a próxima coincidência ocorre após um intervalo igual ao MMC dos dois períodos. Ou seja, se temos períodos de 15 e 25 minutos, o tempo entre duas coincidências sucessivas é o MMC(15,25).
Passo 3
Calculamos o MMC de 15 e 25 fazendo a fatoração: 15 = 3·5 e 25 = 5², então
Passo 4
Para responder o item (a), somamos 75 minutos às 7h30. Setenta e cinco minutos equivalem a 1h15, então:
Passo 5
Para o item (b), vamos gerar todas as coincidências entre 7h30 e 24h00. Em minutos desde meia-noite, 7h30 é 450 min. As coincidências ocorrem em
até que o total seja ≤1440. O maior k inteiro que satisfaz é 13, pois 450+75·13=1425. Convertendo cada valor de volta em horas e minutos, obtemos: 7h30, 8h45, 10h00, 11h15, 12h30, 13h45, 15h00, 16h15, 17h30, 18h45, 20h00, 21h15, 22h30 e 23h45.
Passo 6
Portanto:
Resposta
(a) 8h45
(b) 7h30, 8h45, 10h00, 11h15, 12h30, 13h45, 15h00, 16h15, 17h30, 18h45, 20h00, 21h15, 22h30 e 23h45
(b) 7h30, 8h45, 10h00, 11h15, 12h30, 13h45, 15h00, 16h15, 17h30, 18h45, 20h00, 21h15, 22h30 e 23h45