Resolva os problemas de condição inicial.
Passo 1
O exercício pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y’’+5y’-3y=0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=4. O conteúdo é equação característica e aplicação de condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
2y’’+5y’-3y=0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=4. O conteúdo é equação característica e aplicação de condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
Para resolver, usamos a técnica de equação característica: substituímos y(t)=e^{rt}, pois em EDOs com coeficientes constantes isso transforma derivadas em potências de r. Assim, temos a equação:
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática:
Calculando o discriminante: Δ=5^2-4·2·(-3)=25+24=49.
As raízes são:
Calculando o discriminante: Δ=5^2-4·2·(-3)=25+24=49.
As raízes são:
Logo r_1=\frac{2}{4}=\tfrac12 e r_2=\frac{-12}{4}=-3.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
Passo 5
Agora precisamos ajustar C_1 e C_2 pelas condições iniciais. Primeiro calculamos y’(t):
Passo 6
Aplicando y(0)=1 e y’(0)=4:
De y(0)=C_1+C_2=1.
De y’(0)=\tfrac{C_1}{2}-3C_2=4.
Resolvendo o sistema:
De y(0)=C_1+C_2=1.
De y’(0)=\tfrac{C_1}{2}-3C_2=4.
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a segunda equação por 2: C_1-6C_2=8. Subtraindo da primeira: (C_1-6C_2)-(C_1+C_2)=8-1 ⇒ -7C_2=7 ⇒ C_2=-1. Logo C_1=1- C_2=2.
Passo 7
Substituindo na solução geral, obtemos a solução particular:
Resposta
y(t)=2e{t/2}-e{-3t}