Resolva os problemas de condição inicial.
2 y^prime prime+5 y^prime-3 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=4

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y’’+5y’-3y=0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=4. O conteúdo é equação característica e aplicação de condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Para resolver, usamos a técnica de equação característica: substituímos y(t)=e^{rt}, pois em EDOs com coeficientes constantes isso transforma derivadas em potências de r. Assim, temos a equação:
2r^2+5r-3=0

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática:
Calculando o discriminante: Δ=5^2-4·2·(-3)=25+24=49.
As raízes são:
r=-5pmraiz492cdot2=-5pm74
Logo r_1=\frac{2}{4}=\tfrac12 e r_2=\frac{-12}{4}=-3.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t=C1e^t/2+C2e^-3t

Passo 5

Agora precisamos ajustar C_1 e C_2 pelas condições iniciais. Primeiro calculamos y’(t):
y'(t)=C1cdottfrac12e^t/2+C2cdot(-3)e^-3t=tfracC12e^t/2-3C2e^-3t

Passo 6

Aplicando y(0)=1 e y’(0)=4:
De y(0)=C_1+C_2=1.
De y’(0)=\tfrac{C_1}{2}-3C_2=4.
Resolvendo o sistema:
C1+C2=1, tfracC12-3C2=4
Multiplicando a segunda equação por 2: C_1-6C_2=8. Subtraindo da primeira: (C_1-6C_2)-(C_1+C_2)=8-1 ⇒ -7C_2=7 ⇒ C_2=-1. Logo C_1=1- C_2=2.

Passo 7

Substituindo na solução geral, obtemos a solução particular:
y(t)=2e^t/2-e^-3t

Resposta

y(t)=2e{t/2}-e{-3t}

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