Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y' - y = 2,t,t^2t, y(0)=1
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem não homogênea. Vamos usar o fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Escrevemos a equação no formato
y' + P(t),y = Q(t),
onde aqui P(t)=-1 e Q(t)=2,t,t^2t. O fator integrante é
mu(t) = expl(integral P(t),dtr) = expl(integral -1,dtr) = e^-t

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(t) obtemos
e^-ty' - e^-ty = 2,t,t^2t,e^-t Longrightarrow ddtl(e^-tyr) = 2,t,t^2t,e^-t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^-ty = integral 2,t,t^2t,e^-t,dt + C
Para determinar C, usamos y(0)=1: na e-squerda e^0y(0)=1 e a integral de 0 a 0 é zero, logo C=1. Podemos então escrever a solução em forma de integral definida:
e^-ty = 1 + integral0^t2,s,s^2s,e^-s,ds

Passo 5

Isolando y, concluímos
y(t) = e^t!(1 + integral0^t2,s,s^2s,e^-s,ds)

Resposta

y(t) = e^tl(1 + integral0^t2,s,s^2s,e^-s,dsr)

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