Resolva as equações diferenciais usando o método da variação dos parâmetros.
y^prime prime-2 y=4 x^2 e^x^2

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO y'' - 2y = 4x^2e^x^2 usando o método da variação dos parâmetros. O conteúdo é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para isso, vamos precisar: a) achar a solução da homogênea associada; b) calcular o Wronskiano das soluções fundamentais; c) usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter a solução particular; d) montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada. A equação é

Passo 3

y'' - 2y = 0

Passo 4

A equação característica é

Passo 5

r^2 - 2 = 0

Passo 6

Logo as raízes são r = pmraiz2 e as soluções fundamentais são

Passo 7

y1 = e^raiz2x, y2 = e^-raiz2x

Passo 8

Em seguida, calculamos o Wronskiano de y1 e y2. Por definição

Passo 9

W = y1 y2' - y1' y2

Passo 10

Como

Passo 11

y1' = raiz2e^raiz2x, y2' = -raiz2e^-raiz2x,

Passo 12

temos

Passo 13

W = e^raiz2x(-raiz2e^-raiz2x) - (raiz2e^raiz2x)e^-raiz2x = -2raiz2

Passo 14

Agora, aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros. A solução particular é

Passo 15

yp = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x),

Passo 16

com

Passo 17

u1' = -y2(x),g(x)W, u2' = y1(x),g(x)W,

Passo 18

onde g(x)=4x^2e^x^2 e W=-2raiz2.

Passo 19

Substituindo y1, y2, g e W obtemos

Passo 20

u1' = -e^-raiz2x,4x^2e^x^2-2raiz2 = raiz2,x^2e^x^2 - raiz2x,

Passo 21

nu2' = e^raiz2x,4x^2e^x^2-2raiz2 = -raiz2,x^2e^x^2 + raiz2x

Passo 22

Agora integramos para obter u1 e u2:

Passo 23

u1(x) = raiz2integral x^2e^x^2 - raiz2x,dx, u2(x) = -raiz2integral x^2e^x^2 + raiz2x,dx

Passo 24

Finalmente, a solução particular fica

Passo 25

yp = raiz2e^raiz2xintegral x^2e^x^2 - raiz2x,dx - raiz2e^-raiz2xintegral x^2e^x^2 + raiz2x,dx

Passo 26

Juntando com a homogênea, a solução geral é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(x) = C1e^raiz2x + C2e^-raiz2x + raiz2e^raiz2x integral x^2e^x^2 - raiz2x,dx - raiz2e^-raiz2x integral x^2e^x^2 + raiz2x,dx

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