Resolva as equações diferenciais usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO
usando o método da variação dos parâmetros. O conteúdo é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para isso, vamos precisar: a) achar a solução da homogênea associada; b) calcular o Wronskiano das soluções fundamentais; c) usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter a solução particular; d) montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada. A equação é
Passo 3
Passo 4
A equação característica é
Passo 5
Passo 6
Logo as raízes são
e as soluções fundamentais são
Passo 7
Passo 8
Em seguida, calculamos o Wronskiano de
e
. Por definição
Passo 9
Passo 10
Como
Passo 11
Passo 12
temos
Passo 13
Passo 14
Agora, aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros. A solução particular é
Passo 15
Passo 16
com
Passo 17
Passo 18
onde
e
.
Passo 19
Substituindo
e
obtemos
Passo 20
Passo 21
Passo 22
Agora integramos para obter
e
:
Passo 23
Passo 24
Finalmente, a solução particular fica
Passo 25
Passo 26
Juntando com a homogênea, a solução geral é a soma da homogênea com a particular.