Questão 4 (1,0 ponto): Sejam
f(x, y)=(x+y)^2 e g(r, s)=(r-s, cos (r))
Então, [D(f circ g)(r, s)] é
(a) 2(r-s+cos (r))[ll1 & 1][cc1 & -1 -sin (r) & 0]
(b) 2[llr-s & cos (r)][cc1 & -1 -sin (r) & 0]
(c) NOA
(d) 2(r-s+cos (r))[ll1 & 1][cc1 & -1 0 & sin (r)]
(e) 2[llr-s & cos (r)][cc1 & -1 0 & sin (r)]

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a derivada de fcirc g, onde f(x,y)=(x+y)^2 e g(r,s)=(r-s,cos(r)). O conteúdo aqui é regra da cadeia pra funções de várias variáveis: a gente vai montar os jacobianos de f e de g e depois multiplicar eles.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o Jacobiano (ou gradiente, nesse caso) de f. Pra f(x,y) = (x+y)^2, temos
partial fpartial x = 2(x+y)
partial fpartial y = 2(x+y)
Então o Jacobiano de f é a matriz-linha
l[2(x+y) 2(x+y)r]

Passo 3

Agora o Jacobiano de g. Como g1(r,s)=r-s e g2(r,s)=cos(r), calculamos
partial g1partial r = 1, partial g1partial s = -1
partial g2partial r = -sin(r), partial g2partial s = 0
Logo o Jacobiano de g é
1 & -1 -sin(r) & 0

Passo 4

Aí é só aplicar a regra da cadeia: D(fcirc g)(r,s) = Df(g(r,s))cdot Dg(r,s). A gente substitui x=r-s e y=cos(r) no Jacobiano de f, ficando um fator 2(r-s+cos(r)). Então

Passo 5

Logo,
D(fcirc g)(r,s) = 2(r-s+cos(r))l[11r] 1 & -1 -sin(r) & 0
E isso bate com a opção (a).

Resposta

(a)

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