Questão 6 (1,0 ponto): Dada a função
f(x, y, z)=3 x y-5 x^2 z+x y z^2
determine partialv f(a), onde a=(2,-1,-3) e v=(2,-1,-3).
Resposta:
partialv f(a)=
square

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=3xy - 5x^2z + xyz^2 no ponto a=(2,-1,-3) na direção do vetor vec v=(2,-1,-3). O conteúdo aqui é derivada direcional, e a gente vai precisar calcular o gradiente e depois fazer o produto escalar com vec v.

Passo 2

A derivada direcional de f num ponto a na direção de vec v é definida por
partialvec vf(a) ,=, nabla f(a) cdot vec v
O gradiente nabla f é o vetor das derivadas parciais (fx, fy, fz), então primeiro a gente acha essas parciais.

Passo 3

Vamos achar as derivadas parciais da função:
fx(x,y,z) = 3y - 10x z + y z^2
fy(x,y,z) = 3x + x z^2
fz(x,y,z) = -5x^2 + 2x y z

Passo 4

Agora a gente avalia cada derivada parcial em a=(2,-1,-3):
fx(a)=3(-1)-10cdot2cdot(-3)+(-1)cdot(-3)^2= -3 +60 -9 =48.
fy(a)=3cdot2+2cdot9 =6+18=24.
fz(a)=-5cdot2^2+2cdot2cdot(-1)cdot(-3)= -20+12= -8.

Passo 5

Por fim, calculamos o produto escalar entre nabla f(a)=(48,24,-8) e vec v=(2,-1,-3):
48cdot2 + 24cdot(-1) + (-8)cdot(-3) =96 -24 +24 =96.
Isso dá a derivada direcional desejada.

Resposta

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