Questão 5 (1,0 ponto): Sejam
. E seja
uma função diferenciável. Usando a notação de derivadas parciais da função
, escreva
Passo 1
Então, o enunciado pede para achar ∇(g∘f)(2,3), onde f(x,y)=(x²y², xy) e g: ℝ²→ℝ diferenciável. O conteúdo é regra da cadeia pra função composta e cálculo de gradiente, e vamos usar derivadas parciais.
Passo 2
A gente sabe que ∇(g∘f)(x,y) = (∂(g∘f)/∂x, ∂(g∘f)/∂y). Pela regra da cadeia valem as fórmulas:
Passo 3
[
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial x} = g_x(f(x,y))\frac{\partial f_1}{\partial x} + g_y(f(x,y))\frac{\partial f_2}{\partial x}
]
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial x} = g_x(f(x,y))\frac{\partial f_1}{\partial x} + g_y(f(x,y))\frac{\partial f_2}{\partial x}
]
Passo 4
[
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial y} = g_x(f(x,y))\frac{\partial f_1}{\partial y} + g_y(f(x,y))\frac{\partial f_2}{\partial y}
]
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial y} = g_x(f(x,y))\frac{\partial f_1}{\partial y} + g_y(f(x,y))\frac{\partial f_2}{\partial y}
]
Passo 5
Como f(x,y)=(f₁,f₂) com f₁(x,y)=x²y² e f₂(x,y)=xy, temos:
Passo 6
[
\frac{\partial f_1}{\partial x}=2x y², \quad \frac{\partial f_1}{\partial y}=2y x²
]
\frac{\partial f_1}{\partial x}=2x y², \quad \frac{\partial f_1}{\partial y}=2y x²
]
Passo 7
[
\frac{\partial f_2}{\partial x}=y, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y}=x
]
\frac{\partial f_2}{\partial x}=y, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y}=x
]
Passo 8
Avaliando no ponto (2,3):
Passo 9
[
\frac{\partial f_1}{\partial x}(2,3)=2·2·3²=36, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y}(2,3)=2·3·2²=24
]
\frac{\partial f_1}{\partial x}(2,3)=2·2·3²=36, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y}(2,3)=2·3·2²=24
]
Passo 10
[
\frac{\partial f_2}{\partial x}(2,3)=3, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y}(2,3)=2
]
\frac{\partial f_2}{\partial x}(2,3)=3, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y}(2,3)=2
]
Passo 11
Substituindo na regra da cadeia e lembrando que f(2,3)=(36,6), fica:
Passo 12
[
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial x}(2,3)=36,g_x(36,6)+3,g_y(36,6)
]
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial x}(2,3)=36,g_x(36,6)+3,g_y(36,6)
]
Passo 13
[
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial y}(2,3)=24,g_x(36,6)+2,g_y(36,6)
]
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial y}(2,3)=24,g_x(36,6)+2,g_y(36,6)
]