Questão 5 (1,0 ponto): Sejam f(x, y)=(x^2 y^2, x y). E seja g: R^2 R uma função diferenciável. Usando a notação de derivadas parciais da função g, escreva
nabla(g circ f)(2,3)=
square

Passo 1

Então, o enunciado pede para achar ∇(g∘f)(2,3), onde f(x,y)=(x²y², xy) e g: ℝ²→ℝ diferenciável. O conteúdo é regra da cadeia pra função composta e cálculo de gradiente, e vamos usar derivadas parciais.

Passo 2

A gente sabe que ∇(g∘f)(x,y) = (∂(g∘f)/∂x, ∂(g∘f)/∂y). Pela regra da cadeia valem as fórmulas:

Passo 3

[
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial x} = g_x(f(x,y))\frac{\partial f_1}{\partial x} + g_y(f(x,y))\frac{\partial f_2}{\partial x}
]

Passo 4

[
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial y} = g_x(f(x,y))\frac{\partial f_1}{\partial y} + g_y(f(x,y))\frac{\partial f_2}{\partial y}
]

Passo 5

Como f(x,y)=(f₁,f₂) com f₁(x,y)=x²y² e f₂(x,y)=xy, temos:

Passo 6

[
\frac{\partial f_1}{\partial x}=2x y², \quad \frac{\partial f_1}{\partial y}=2y x²
]

Passo 7

[
\frac{\partial f_2}{\partial x}=y, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y}=x
]

Passo 8

Avaliando no ponto (2,3):

Passo 9

[
\frac{\partial f_1}{\partial x}(2,3)=2·2·3²=36, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y}(2,3)=2·3·2²=24
]

Passo 10

[
\frac{\partial f_2}{\partial x}(2,3)=3, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y}(2,3)=2
]

Passo 11

Substituindo na regra da cadeia e lembrando que f(2,3)=(36,6), fica:

Passo 12

[
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial x}(2,3)=36,g_x(36,6)+3,g_y(36,6)
]

Passo 13

[
\frac{\partial(g\circ f)}{\partial y}(2,3)=24,g_x(36,6)+2,g_y(36,6)
]

Resposta

nabla(gcirc f)(2,3) = (36,gx(36,6) + 3,gy(36,6),;24,gx(36,6) + 2,gy(36,6))

Exercícios relacionados