Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

O problema é um valor inicial para a equação diferencial linear de primeira ordem
t,y'(t) + 2,y(t) = t^2 - t + 1,
com condição y(1)=12 e domínio t>0.
Para resolver, vamos pôr na forma padrão y' + p(t)y = g(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo a equação por t (válido pois t>0), obtemos
y'(t) + 2t,y(t) = t - 1 + 1t
Aqui p(t)=tfrac2t e g(t)=t-1+tfrac1t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 2t,dtr) = expl(2ln tr) = t^2
Multiplicando a equação padrão por mu(t), temos
t^2,y' + 2t,y = t^2l(t - 1 + tfrac1tr) ;Longrightarrow; ddt(t^2,y) = t^3 - t^2 + t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2,y = integrall(t^3 - t^2 + tr),dt + C = t^44 - t^33 + t^22 + C
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y(t) = 1t^2l(t^44 - t^33 + t^22 + Cr) = t^24 - t3 + 12 + Ct^2

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=tfrac12:
1^24 - 13 + 12 + C = 12 ;Longrightarrow; 14 - 13 + 12 + C = 12 ;Longrightarrow; 3+6-412 + C = 612 ;Longrightarrow; 512 + C = 612 ;Longrightarrow; C = 112

Passo 6

Portanto, a solução do problema de valor inicial é
boxed y(t) = t^24 ;-;t3;+;12 ;+;112,t^2

Resposta

y(t) = t^24 - t3 + 12 + 112,t^2

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