(a) Mostre que F=12 y^2 i+x y j é gradiente.
(b) Calcule a integral de F ao longo do caminho x=cos ^3 theta, y=sen^3 theta, theta in[0, pi / 2].

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=12,y^2,i+x,y,j
e pede:
(a) mostrar que F é um campo gradiente;
(b) calcular integralCFcdot dr ao longo da curva
x(theta)=cos^3theta, y(theta)=sin^3theta, thetain[0,tfracpi2]

Passo 2

Para ver se F é gradiente, buscamos uma função potencial f(x,y) tal que
partial fpartial x=12,y^2, partial fpartial y=x,y
Integrando partial f/partial x em relação a x, obtemos
f(x,y)=integral 12,y^2,dx =12,x,y^2+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 3

Agora ajustamos g(y) impondo partial f/partial y=x,y. Calculando
partialpartial yl(tfrac12,x,y^2+g(y)r) =x,y+g'(y)
e comparando com x,y, vemos que precisamos de
g'(y)=0Longrightarrow g(y)=constante
Logo podemos escolher
f(x,y)=tfrac12,x,y^2
(qualquer constante extra não altera o gradiente). Concluímos que
F=nabla f,
ou seja, F é conservativo.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, a integral de linha de F entre dois pontos A e B vale
integralA^BFcdot dr =f(B)-f(A)
No nosso caso, a curva C vai de theta=0 até theta=pi/2, isto é, de
A=(x(0),y(0))=(1,0) até B=(x(tfracpi2),y(tfracpi2))=(0,1) é
Calculamos
f(1,0)=tfrac12cdot1cdot0^2=0, f(0,1)=tfrac12cdot0cdot1^2=0
Portanto
integralCFcdot dr =f(B)-f(A) =0-0 =0

Resposta

O campo F é conservativo com potencial f(x,y)=tfrac12,x,y^2 e a integral de linha ao longo da curva dada é 0.

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