(a) Mostre que
é gradiente.
(b) Calcule a integral de
ao longo do caminho
.
(b) Calcule a integral de
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede:
(a) mostrar que é um campo gradiente;
(b) calcular ao longo da curva
(a) mostrar que
(b) calcular
Passo 2
Para ver se
é gradiente, buscamos uma função potencial
tal que
Integrando
em relação a
, obtemos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 3
Agora ajustamos
impondo
. Calculando
e comparando com
, vemos que precisamos de
Logo podemos escolher
(qualquer constante extra não altera o gradiente). Concluímos que
ou seja,
é conservativo.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para campos conservativos, a integral de linha de
entre dois pontos
e
vale
No nosso caso, a curva
vai de
até
, isto é, de
Calculamos
Portanto
Resposta
O campo
é conservativo com potencial
e a integral de linha ao longo da curva dada é
.