Questão 7 (2,0 pontos):
Determine o único ponto crítico de
e classifique-o como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Ponto crítico:
Classificação:
Passo 1
Precisamos achar o ponto crítico de
e depois classificar se é máximo, mínimo ou ponto de sela. O conteúdo envolve derivadas parciais (pra achar onde o gradiente zera) e teste da Hessiana (pra classificar), então vamos usar regra do produto, derivada parcial e determinante.
Passo 2
Primeiro, pra simplificar, note que
, logo podemos reescrever
. Aí calculamos as derivadas parciais:
e, aplicando regra do produto em y,
.
Passo 3
Agora igualamos a zero: de
vem
então
. Em
substituindo
fica
, daí
. O ponto crítico único é
.
Passo 4
Pra classificar, calculamos as segundas derivadas:
,
e
. Em
isso dá
,
,
. O determinante da Hessiana é
e como
, concluímos que é mínimo local.
Resposta
Ponto crítico:
. Classificação: mínimo local.