Questão 7 (2,0 pontos): Determine o único ponto crítico de
f(x, y)=(x^2-10 x+25-3 y) e^-2 y
e classifique-o como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Ponto crítico: square
Classificação: square

Passo 1

Precisamos achar o ponto crítico de f(x,y) = (x^2 - 10x + 25 - 3y)e^-2y e depois classificar se é máximo, mínimo ou ponto de sela. O conteúdo envolve derivadas parciais (pra achar onde o gradiente zera) e teste da Hessiana (pra classificar), então vamos usar regra do produto, derivada parcial e determinante.

Passo 2

Primeiro, pra simplificar, note que x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2, logo podemos reescrever f(x,y) = ((x-5)^2 - 3y)e^-2y. Aí calculamos as derivadas parciais: fx = 2(x-5)e^-2y e, aplicando regra do produto em y, fy = e^-2y(6y - 2(x-5)^2 - 3).

Passo 3

Agora igualamos a zero: de fx = 0 vem x-5 = 0 então x=5. Em fy = 0 substituindo x=5 fica 6y - 3 = 0, daí y = tfrac12. O ponto crítico único é (5,tfrac12).

Passo 4

Pra classificar, calculamos as segundas derivadas: fxx = 2e^-2y, fxy = -4(x-5)e^-2y e fyy = e^-2y(4(x-5)^2 - 12y + 12). Em (5,tfrac12) isso dá fxx = 2e^-1, fxy = 0, fyy = 6e^-1. O determinante da Hessiana é D = fxxfyy - (fxy)^2 = 12e^-2 > 0 e como fxx > 0, concluímos que é mínimo local.

Resposta

Ponto crítico: (5,tfrac12). Classificação: mínimo local.

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